《2025年轻松作业本八年级数学上册苏科版》

4. 如图,某公路上$A$、$B两点的正南方有D$、$C$两村庄,现要在公路$AB上建一个车站E$,使$C$、$D两村到E$站的距离相等,已知$AB = 50\mathrm{km}$,$DA = 20\mathrm{km}$,$CB = 10\mathrm{km}$,请你设计出$E$站的位置,并计算车站$E距A$点多远。

解:设AE=xkm,∵C、D两村到E站的距离相等，∴DE=CE,即DE²=CE²,由勾股定理,得20²+x²=10²+(50−x)²,x=22.答:E点应建在距A站22km处.

答案： 解:设AE=xkm,
∵C、D两村到E站的距离相等，
∴DE=CE,即DE²=CE²,由勾股定理,得20²+x²=10²+(50−x)²,x=22.答:E点应建在距A站22km处.

5. 如图,将长方形$ABCD沿直线EF$折叠,使点$C与点A$重合,折痕交$AD于点E$,交$BC于点F$,连接$CE$。
(1) 求证：$AE = AF = CE = CF$；
证明:由题意知AF=CF,AE=CE,∠AFE=∠CFE.又四边形ABCD是长方形，∴AD//BC.∴∠AEF=∠CFE.∴∠AFE=∠AEF.∴AE=AF.∴AE=AF=CE=CF;
(2) 设$AE = a$,$ED = b$,$DC = c$,请写出一个$a$,$b$,$c$三者之间的数量关系式。$b²+c²=a²$

答案：
(1)证明:由题意知AF=CF,AE=CE,∠AFE=∠CFE.又四边形ABCD是长方形，
∴AD//BC.
∴∠AEF=∠CFE.
∴∠AFE=∠AEF.
∴AE=AF.
∴AE=AF=CE=CF;　
(2)由题意知,AE=CE=a,ED=b,DC=c.由∠D=90°知ED²+DC²=CE²,即b²+c²=a².

6. 如图,圆柱形容器的高为$120\mathrm{cm}$,底面周长为$100\mathrm{cm}$,在容器内壁离容器底部$40\mathrm{cm}的点B$处有一只蚊子,此时一只壁虎正好在容器外壁,离容器上沿$40\mathrm{cm}与蚊子相对的点A$处,求壁虎捕捉蚊子的最短距离。

答案：
解:如图,将容器侧面展开，作A关于EC的对称点A'，连接A'B交EC于F,则A'B即为最短距离.由题意得A'D=50cm,BD=120cm.
∴在Rt△A'DB中,A'B=$\sqrt{A'D²+BD²}$=$\sqrt{50²+120²}$=130(cm).故壁虎捕捉蚊子的最短距离为130cm.