《2025年轻松作业本八年级数学上册苏科版》

13. (2024·河北)已知 $ a $,$ b $,$ n $ 均为正整数.
(1)若 $ n ＜ \sqrt { 1 0 } ＜ n + 1 $,则 $ n = $______3；
(2)若 $ n - 1 ＜ \sqrt { a } ＜ n $,$ n ＜ \sqrt { b } ＜ n + 1 $,则满足条件的 $ a $ 的个数总比 $ b $ 的个数少______2个.

答案： 1. （1）
因为$\sqrt{9}=3$，$\sqrt{16}=4$，且$9\lt10\lt16$，根据算术平方根的性质$y = \sqrt{x}(x\geq0)$是单调递增函数，所以$\sqrt{9}\lt\sqrt{10}\lt\sqrt{16}$，即$3\lt\sqrt{10}\lt4$。
又因为$n\lt\sqrt{10}\lt n + 1$（$n$为正整数），所以$n = 3$。
2. （2）
因为$n-1\lt\sqrt{a}\lt n$（$a$，$n$为正整数），两边同时平方可得$(n - 1)^{2}\lt a\lt n^{2}$，那么$a$的取值个数为$n^{2}-(n - 1)^{2}-1$。
根据完全平方公式$(m - k)^{2}=m^{2}-2mk + k^{2}$，$n^{2}-(n - 1)^{2}-1=n^{2}-(n^{2}-2n + 1)-1$。
去括号得$n^{2}-n^{2}+2n - 1 - 1=2n-2$。
因为$n\lt\sqrt{b}\lt n + 1$（$b$，$n$为正整数），两边同时平方可得$n^{2}\lt b\lt(n + 1)^{2}$，那么$b$的取值个数为$(n + 1)^{2}-n^{2}-1$。
根据完全平方公式$(m + k)^{2}=m^{2}+2mk + k^{2}$，$(n + 1)^{2}-n^{2}-1=(n^{2}+2n + 1)-n^{2}-1$。
去括号得$n^{2}+2n + 1 - n^{2}-1=2n$。
则满足条件的$a$的个数比$b$的个数少：$2n-(2n - 2)=2$。
故答案依次为：（1）$3$；（2）$2$。

14. 计算：
(1)$ - \sqrt [ 3 ] { 8 } + \sqrt [ 3 ] { - 1 } \cdot \sqrt { 4 ^ { 3 } } $；
(2)$ ( - 1 ) ^ { 3 } + | 1 - \sqrt { 2 } | + \sqrt [ 3 ] { 8 } $；
(3)$ \sqrt { ( - 1 + \frac { 2 } { 3 } ) ^ { 2 } } + \sqrt [ 3 ] { ( 1 - \frac { 5 } { 9 } ) ( \frac { 1 } { 3 } - 1 ) } - \sqrt [ 3 ] { - 2 + \frac { 1 5 } { 8 } } $.

答案： 1. （1）
解：
先分别计算各项：
因为$\sqrt[3]{8}=2$，所以$-\sqrt[3]{8}=-2$；
因为$\sqrt[3]{-1}=-1$，$\sqrt{4^{3}}=\sqrt{64}=8$。
再计算原式：
$ -\sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{-1}\cdot\sqrt{4^{3}}=-2+( - 1)×8$
根据乘法运算$( - 1)×8=-8$，则$-2+( - 8)=-2 - 8=-10$。
2. （2）
解：
分别计算各项：
因为$(-1)^{3}=-1$；
因为$\sqrt{2}\approx1.414\gt1$，所以$\vert1 - \sqrt{2}\vert=\sqrt{2}-1$；
因为$\sqrt[3]{8}=2$。
再计算原式：
$(-1)^{3}+\vert1 - \sqrt{2}\vert+\sqrt[3]{8}=-1+\sqrt{2}-1 + 2$
合并同类项$(-1-1 + 2)+\sqrt{2}=\sqrt{2}$。
3. （3）
解：
分别计算各项：
计算$\sqrt{(-1+\frac{2}{3})^{2}}$：
先算$-1+\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$，则$\sqrt{(-1+\frac{2}{3})^{2}}=\vert-\frac{1}{3}\vert=\frac{1}{3}$；
计算$\sqrt[3]{(1 - \frac{5}{9})(\frac{1}{3}-1)}$：
先算$1-\frac{5}{9}=\frac{4}{9}$，$\frac{1}{3}-1=-\frac{2}{3}$，则$(1 - \frac{5}{9})(\frac{1}{3}-1)=\frac{4}{9}×(-\frac{2}{3})=-\frac{8}{27}$，所以$\sqrt[3]{(1 - \frac{5}{9})(\frac{1}{3}-1)}=\sqrt[3]{-\frac{8}{27}}=-\frac{2}{3}$；
计算$\sqrt[3]{-2+\frac{15}{8}}$：
先算$-2+\frac{15}{8}=\frac{-16 + 15}{8}=-\frac{1}{8}$，所以$\sqrt[3]{-2+\frac{15}{8}}=\sqrt[3]{-\frac{1}{8}}=-\frac{1}{2}$。
再计算原式：
$\sqrt{(-1+\frac{2}{3})^{2}}+\sqrt[3]{(1 - \frac{5}{9})(\frac{1}{3}-1)}-\sqrt[3]{-2+\frac{15}{8}}=\frac{1}{3}+(-\frac{2}{3})-(-\frac{1}{2})$
先算$\frac{1}{3}+(-\frac{2}{3})=\frac{1 - 2}{3}=-\frac{1}{3}$，则$-\frac{1}{3}-(-\frac{1}{2})=-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}$
通分$-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{-2 + 3}{6}=\frac{1}{6}$。
综上，（1）的结果为$-10$；（2）的结果为$\sqrt{2}$；（3）的结果为$\frac{1}{6}$。

15. 把下列各数按从小到大的顺序用“＜”连接起来.
$ 0.5 $,$ - \frac { 1 } { 2 } $,$ \sqrt { 2 } $,$ \sqrt [ 3 ] { - 8 } $,$ | \sqrt { 3 } - 2 | $,$ - \pi $,$ \frac { \sqrt { 3 } + 1 } { 2 } $.

答案： 解：
先分别化简各数：
$\sqrt[3]{-8}=-2$；
$\vert\sqrt{3}-2\vert = 2 - \sqrt{3}\approx2 - 1.732 = 0.268$；
$-\pi\approx - 3.14$；
$\frac{\sqrt{3}+1}{2}\approx\frac{1.732 + 1}{2}=\frac{2.732}{2}=1.366$。
负数比较大小，绝对值大的反而小，$\vert - 3.14\vert = 3.14$，$\vert - 2\vert = 2$，$\vert-\frac{1}{2}\vert = 0.5$，因为$3.14\gt2\gt0.5$，所以$-3.14\lt - 2\lt-\frac{1}{2}$。
正数比较大小：$0.268\lt0.5\lt1.366\lt1.414$（$\sqrt{2}\approx1.414$），即$\vert\sqrt{3}-2\vert\lt0.5\lt\frac{\sqrt{3}+1}{2}\lt\sqrt{2}$。
综上，从小到大的顺序为：$-\pi\lt\sqrt[3]{-8}\lt-\frac{1}{2}\lt\vert\sqrt{3}-2\vert\lt0.5\lt\frac{\sqrt{3}+1}{2}\lt\sqrt{2}$。

16. 求满足下列各式的未知数 $ x $.
(1)$ ( 1 - x ) ^ { 3 } - 3 4 3 = 0 $；$ x = -6 $
(2)$ 2 5 ( x + 2 ) ^ { 2 } - 3 6 = 0 $；$ x = -\frac{4}{5}$ 或 $ -\frac{16}{5} $
(3)$ ( 2 x + 1 ) ^ { 2 } = \sqrt { 1 6 } $.$ x = \frac{1}{2}$ 或 $ -\frac{3}{2} $

答案： $(1)$ 求解$(1 - x)^{3}-343 = 0$
解：
$\begin{aligned}(1 - x)^{3}-343&=0\\(1 - x)^{3}&=343\\\because 343 = 7^{3}\\\therefore 1 - x&=7\\x&=1 - 7\\x&=-6\end{aligned}$
$(2)$ 求解$25(x + 2)^{2}-36 = 0$
解：
$\begin{aligned}25(x + 2)^{2}-36&=0\\25(x + 2)^{2}&=36\\(x + 2)^{2}&=\frac{36}{25}\\x + 2&=\pm\sqrt{\frac{36}{25}}\\x + 2&=\pm\frac{6}{5}\end{aligned}$
当$x + 2=\frac{6}{5}$时，$x=\frac{6}{5}-2=\frac{6}{5}-\frac{10}{5}=-\frac{4}{5}$；
当$x + 2=-\frac{6}{5}$时，$x=-\frac{6}{5}-2=-\frac{6}{5}-\frac{10}{5}=-\frac{16}{5}$。
$(3)$ 求解$(2x + 1)^{2}=\sqrt{16}$
解：
$\because\sqrt{16}=4$，则$(2x + 1)^{2}=4$
$\begin{aligned}2x + 1&=\pm\sqrt{4}\\2x + 1&=\pm2\end{aligned}$
当$2x + 1 = 2$时，$2x=2 - 1$，$x=\frac{1}{2}$；
当$2x + 1=-2$时，$2x=-2 - 1$，$x=-\frac{3}{2}$。
综上，$(1)$$\boldsymbol{x=-6}$；$(2)$$\boldsymbol{x = -\frac{4}{5}}$或$\boldsymbol{x = -\frac{16}{5}}$；$(3)$$\boldsymbol{x=\frac{1}{2}}$或$\boldsymbol{x = -\frac{3}{2}}$。

17. 小丽手中有一张周长为 120 cm 的长方形硬纸片,其长比宽多 10 cm.
(1)求长方形的面积；
(2)现小丽想用这张长方形的硬纸片,沿着边的方向裁出一张长与宽的比为 $ 7 : 5 $,面积为 $ 8 0 5 \mathrm { cm } ^ { 2 } $ 的长方形纸片,试判断小丽能否成功,并说明理由.

答案： 解：
(1) 设长为 $x$ cm，宽为 $y$ cm，则 $\begin{cases}2(x + y) = 120, \\ x - y = 10,\end{cases}$ 解得：$\begin{cases}x = 35, \\ y = 25,\end{cases}$ 所以长方形的面积为：$35×25 = 875(cm^2)$；
(2) 根据题意可设长与宽分别为 $7a$ cm，$5a$ cm，则 $7a×5a = 805$，$35a^2 = 805$，$a^2 = 23$，$a = \sqrt{23}$ 或 $-\sqrt{23}$，$\because a ＞ 0$，$\therefore a = \sqrt{23}$。$\therefore$ 裁出的长方形长为 $7\sqrt{23}$ cm，宽为 $5\sqrt{23}$ cm。$\because 4 ＜ \sqrt{23} ＜ 5$，$\therefore 28 ＜ 7\sqrt{23} ＜ 35$，$20 ＜ 5\sqrt{23} ＜ 25$。$\therefore$ 小丽能成功裁出这样的长方形纸片。

18. 先观察下列等式：
① $ \sqrt { 1 + \frac { 1 } { 1 ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 ^ { 2 } } } = 1 + \frac { 1 } { 1 } - \frac { 1 } { 1 + 1 } = 1 \frac { 1 } { 2 } $；
② $ \sqrt { 1 + \frac { 1 } { 2 ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 3 ^ { 2 } } } = 1 + \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 2 + 1 } = 1 \frac { 1 } { 6 } $；
③ $ \sqrt { 1 + \frac { 1 } { 3 ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 4 ^ { 2 } } } = 1 + \frac { 1 } { 3 } - \frac { 1 } { 3 + 1 } = 1 \frac { 1 } { 1 2 } $.
(1)请你根据上面三个等式提供的信息,猜想 $ \sqrt { 1 + \frac { 1 } { 4 ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 5 ^ { 2 } } } $ 的结果,并验证；结果为$1\frac{1}{20}$
(2)用含 $ n $ 的等式表示上面各等式反映的规律($ n $ 为正整数).规律为$\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n + 1)^2}} = 1 + \frac{1}{n(n + 1)}$（$n$ 为正整数）

答案： $(1)$ 猜想并验证$\boldsymbol{\sqrt { 1 + \frac { 1 } { 4 ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 5 ^ { 2 } } }}$的结果
- **猜想结果：
根据前面三个等式的规律，猜想$\sqrt { 1 + \frac { 1 } { 4 ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 5 ^ { 2 } } }=1 + \frac { 1 } { 4 } - \frac { 1 } { 4 + 1 } = 1\frac{1}{20}$。
- **验证：
解：
$\begin{aligned}\sqrt { 1 + \frac { 1 } { 4 ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 5 ^ { 2 } } }&=\sqrt{1+\frac{1}{16}+\frac{1}{25}}\\&=\sqrt{\frac{16×25 + 25+ 16}{16×25}}\\&=\sqrt{\frac{400+25 + 16}{400}}\\&=\sqrt{\frac{441}{400}}\\&=\frac{21}{20}\\&=1\frac{1}{20}\end{aligned}$
而$1 + \frac { 1 } { 4 } - \frac { 1 } { 4 + 1 }=\frac{5}{4}-\frac{1}{5}=\frac{25 - 4}{20}=\frac{21}{20}=1\frac{1}{20}$，所以猜想正确。
$(2)$ 用含$\boldsymbol{n}$的等式表示规律
解：
观察等式左边$\sqrt { 1 + \frac { 1 } { n ^ { 2 } } + \frac { 1 } { (n + 1) ^ { 2 } } }$（$n$为正整数），
等式右边$1 + \frac { 1 } { n } - \frac { 1 } { n + 1 }=\frac{n(n + 1)+(n + 1)-n}{n(n + 1)}=\frac{n^{2}+n + n + 1 - n}{n(n + 1)}=\frac{n^{2}+n + 1}{n(n + 1)}$。
同时$\sqrt { 1 + \frac { 1 } { n ^ { 2 } } + \frac { 1 } { (n + 1) ^ { 2 } } }=\sqrt{\frac{n^{2}(n + 1)^{2}+(n + 1)^{2}+n^{2}}{n^{2}(n + 1)^{2}}}$
$\begin{aligned}n^{2}(n + 1)^{2}+(n + 1)^{2}+n^{2}&=(n(n + 1))^{2}+n^{2}+2n + 1+n^{2}\\&=(n(n + 1))^{2}+2n^{2}+2n + 1\\&=(n(n + 1))^{2}+2n(n + 1)+1\\&=(n(n + 1)+1)^{2}\end{aligned}$
所以$\sqrt { 1 + \frac { 1 } { n ^ { 2 } } + \frac { 1 } { (n + 1) ^ { 2 } } }=\sqrt{\frac{(n(n + 1)+1)^{2}}{n^{2}(n + 1)^{2}}}=\frac{n(n + 1)+1}{n(n + 1)}=1 + \frac { 1 } { n } - \frac { 1 } { n + 1 }$（$n$为正整数）。
综上，$(1)$ 猜想结果为$\boldsymbol{1\frac{1}{20}}$，验证成立；$(2)$ 规律为$\boldsymbol{\sqrt { 1 + \frac { 1 } { n ^ { 2 } } + \frac { 1 } { (n + 1) ^ { 2 } } } = 1 + \frac { 1 } { n } - \frac { 1 } { n + 1 }}$（$n$为正整数）。