《2025年轻松作业本八年级数学上册苏科版》

7. 如图,已知$∠1 = ∠2$,$AC = AD$,增加下列条件：①$AB = AE$；②$BC = ED$；③$∠C = ∠D$；④$∠B = ∠E$。其中能使$△ABC≌△AED$的条件有(C)

A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

答案： C

8. 如图,$∠ACB = 90^{\circ}$,$AC = BC$。$AD⊥CE$,$BE⊥CE$,垂足分别是$D$、$E$,$AD = 3$,$BE = 1$,则$DE$的长是______2。

答案： 2

9. 如图,$AB = DB$,$∠1 = ∠2$。
(1)添加条件$ B E = B C $,可根据“SAS”,使$△ABC≌△DBE$；
(2)添加条件$ \angle A = \angle D $,可根据“ASA”,使$△ABC≌△DBE$；
(3)添加条件$ \angle C = \angle B E D $,可根据“AAS”,使$△ABC≌△DBE$。

答案：
(1) $ B E = B C $
(2) $ \angle A = \angle D $
(3) $ \angle C = \angle B E D $

10. (2025·兴化一模)如图,$△ABC$中,$AD⊥BC$,垂足为$D$,$BE⊥AC$,垂足为$E$,$AD与BE相交于点F$,$BF = AC$。
(1)求证：$△ADC≌△BDF$；
证明：∵ $ A D \perp B C $，∴ $ \angle B D F = \angle A D C = 90 ^ { \circ } $。∵ $ B E \perp A C $，∴ $ \angle B E C = 90 ^ { \circ } $。∴ $ \angle C A D + \angle A C D = \angle A C D + \angle D B F = 90 ^ { \circ } $。∴ $ \angle C A D = \angle D B F $。在 $ \triangle A D C $ 和 $ \triangle B D F $ 中，$ \left\{ \begin{array} { l } { \angle A D C = \angle B D F , } \\ { \angle C A D = \angle F B D , } \\ { A C = B F , } \end{array} \right. $ ∴ $ \triangle A D C \cong \triangle B D F $(AAS)；
(2)若$DF = 2$,$AF = 3$,求$BC$的长。
解：∵ $ D F = 2 $，$ A F = 3 $，∴ $ A D = A F + D F = 3 + 2 = 5 $。∵ $ \triangle A D C \cong \triangle B D F $，∴ $ B D = A D = 5 $，$ C D = D F = 2 $。∴ $ B C = B D + D C = 5 + 2 = $7。

答案：
(1) 证明：
∵ $ A D \perp B C $，
∴ $ \angle B D F = \angle A D C = 90 ^ { \circ } $。
∵ $ B E \perp A C $，
∴ $ \angle B E C = 90 ^ { \circ } $。
∴ $ \angle C A D + \angle A C D = \angle A C D + \angle D B F = 90 ^ { \circ } $。
∴ $ \angle C A D = \angle D B F $。在 $ \triangle A D C $ 和 $ \triangle B D F $ 中，$ \left\{ \begin{array} { l } { \angle A D C = \angle B D F , } \\ { \angle C A D = \angle F B D , } \\ { A C = B F , } \end{array} \right. $
∴ $ \triangle A D C \cong \triangle B D F ( \mathrm { AAS } ) $；
(2) 解：
∵ $ D F = 2 $，$ A F = 3 $，
∴ $ A D = A F + D F = 3 + 2 = 5 $。
∵ $ \triangle A D C \cong \triangle B D F $，
∴ $ B D = A D = 5 $，$ C D = D F = 2 $。
∴ $ B C = B D + D C = 5 + 2 = 7 $。

11. (1)如图①,$∠ACB = 90^{\circ}$,$AC = BC$,$BE⊥MN$,$AD⊥MN$,垂足分别为$E$、$D$。图中哪条线段与$AD$相等？并说明理由；
答：$CE$
(2)试问在这种情况下$DE$、$AD$、$BE$具有怎样的等量关系？请直接写出等量关系,不需要证明；
答：$AD=DE+BE$
(3)当直线$CE绕点C$旋转到图②中直线$MN$的位置时,试问$DE$、$AD$、$BE$具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系,并加以证明。
答：等量关系为$DE=AD+BE$

答案：
(1) $ C E $。证明：
∵ $ B E \perp M N $，$ A D \perp M N $，
∴ $ \angle A D C = \angle C E B $。
∴ $ \angle D A C + \angle A C D = 90 ^ { \circ } $。
∵ $ \angle A C B = 90 ^ { \circ } $，
∴ $ \angle B C E + \angle A C D = 90 ^ { \circ } $。
∴ $ \angle D A C = \angle B C E $。
∵ $ A C = B C $，
∴ $ \triangle A D C \cong \triangle C E B $。
∴ $ A D = C E $；
(2) $ A D = D E + B E $
(3) $ D E = A D + B E $。证明：
∵ $ B E \perp M N $，$ A D \perp M N $，
∴ $ \angle A D C = \angle C E B $。
∴ $ \angle D A C + \angle A C D = 90 ^ { \circ } $。
∵ $ \angle A C B = 90 ^ { \circ } $，
∴ $ \angle B C E + \angle A C D = 90 ^ { \circ } $。
∴ $ \angle D A C = \angle B C E $。
∵ $ A C = B C $，
∴ $ \triangle A D C \cong \triangle C E B $。
∴ $ A D = C E $，$ D C = B E $。
∴ $ D E = A D + B E $。