《2025年轻松作业本八年级数学上册苏科版》

4. 如图,在$\triangle ABC$中,$AD平分∠BAC$,$CD⊥AD于点D$,$∠DCB= ∠B$,若$AC= 10$,$AB= 26$,则$CD= $8。

答案： 8

5. 如图,$Rt\triangle ABC$中,$AB= AC$,$∠A= 90^{\circ}$,$∠B的平分线交AC于点D$,从点$C向BD$的延长线作垂线,垂足为$E$。求证：$BD= 2CE$。

答案：
证明:分别延长BA,CE交于点F，
∵∠ABC的平分线交AC于点D，
∴∠FBE=∠CBE.
∵BE⊥CF,
∴∠BEF=∠BEC,在△BFE和△BCE中,{∠FBE=∠CBE,BE=BE,∠BEF=∠BEC,
∴△BFE≌△BCE(ASA).
∴CE=EF.
∴CF=2CE.
∵∠BAC=90°,且AB=AC,
∴∠FAC=∠BAC=90°,∠ABC=∠ACB=45°.
∴∠FBE=∠CBE=22.5°.
∴∠F=∠ADB=67.5°,又AB=AC,在△ABD和△ACF中,{∠F=∠ADB,∠FAC=∠BAD,AB=AC,
∴△ABD≌△ACF(AAS).
∴BD=CF.
∴BD=2CE.

6. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$D为BC$的中点,连接$AD$,$AC的垂直平分线EF交AB于点E$,交$AD于点O$,交$AC于点F$,连接$OB$,$OC$。
(1) 求证：$\triangle AOB$是等腰三角形；
证明:∵AB=AC,D为BC的中点，∴AD是BC的垂直平分线.∴OB=OC.∵EF是AC的垂直平分线，∴OA=OC.∴OA=OB.∴△AOB是等腰三角形;
(2) 若$∠BAD= 18^{\circ}$,求$∠AEF$的度数。
解:∵EF⊥AC,∴∠AFE=90°.∵AB=AC,D为BC的中点，∴AD平分∠BAC.∴∠EAF=2∠BAD=36°.∴∠AEF=90°−∠EAF=54°.

答案：
(1)证明:
∵AB=AC,D为BC的中点，
∴AD是BC的垂直平分线.
∴OB=OC.
∵EF是AC的垂直平分线，
∴OA=OC.
∴OA=OB.
∴△AOB是等腰三角形;
(2)解:
∵EF⊥AC,
∴∠AFE=90°.
∵AB=AC,D为BC的中点，
∴AD平分∠BAC.
∴∠EAF=2∠BAD=36°.
∴∠AEF=90°−∠EAF=54°.

7. 在$\triangle ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ}$,点$D是AB$中点,$BC= BD$,$DE⊥AB交∠ACB的平分线于点E$。求证：$DE= DC$。
证明:∵D为AB的中点，∠ACB=90°,∴AD=BD=CD,且BC=BD.∴△BCD为等边三角形.∴∠A=∠ACD=30°.∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=45°.∴∠DCE=∠ACE−∠ACD=45°−30°=15°.又DE⊥AB,∴∠EDB=90°.∴∠CDE=90°+60°=150°.∴∠DEC=180°−150°−15°=15°,即∠DEC=∠DCE.∴DE=DC.

答案： 证明:
∵D为AB的中点，∠ACB=90°,
∴AD=BD=CD,且BC=BD.
∴△BCD为等边三角形.
∴∠A=∠ACD=30°.
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=45°.
∴∠DCE=∠ACE−∠ACD=45°−30°=15°.又DE⊥AB,
∴∠EDB=90°.
∴∠CDE=90°+60°=150°.
∴∠DEC=180°−150°−15°=15°,即∠DEC=∠DCE.
∴DE=DC.