《2025年轻松作业本八年级数学上册苏科版》

8. (2024·南通)“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的两条直角边长分别为$m$,$n(m ＞ n)$.若小正方形面积为5,$(m + n)^{2}= 21$,则大正方形面积为(B)

A. 12
B. 13
C. 14
D. 15

答案： B

9. 已知直角三角形的两边长分别为3和5,则第三边长的平方为16或34.

答案： 16或34

10. 如图,在$\triangle ABC$中,$AC = BC$,$BD\perp AC于点D$,$AD = 1$,$BD = 3$,则$BC$的长为____5.

答案： 5

11. 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形,若图中的直角三角形的长直角边是12,大正方形的面积是169,则小正方形的面积是49.

答案： 49

12. 如图是每一个小方格都是边长为1的正方形网格.
(1)利用网格线作图：
①在$BC上找一点P$,使点$P到AB和AC$的距离相等；
②在射线$AP上找一点Q$,使$QB = QC$；
(2)在(1)中连接$CQ与BQ$,试说明$\triangle CBQ$是直角三角形.

答案：
解：
(1) 如图所示　
(2) $\because CQ^{2}=26,BQ^{2}=26,BC^{2}=52,\therefore CQ^{2}+BQ^{2}=BC^{2}.\therefore \triangle CBQ$ 是直角三角形。

13. 在$\triangle ABC$中,$AB = c$,$AC = b$,$BC = a$.
(1)若$∠C = 90^{\circ}$,则$a$、$b$、$c$满足的数量关系为____；
(2)若$\triangle ABC$为钝角三角形,$a = 2$,$b = 1$,直接写出$c$的取值范围；
(3)如图,若$\triangle ABC$为锐角三角形,$c$为最长边.求证：$a^{2}+b^{2}＞c^{2}$.

答案：

(1) $a^{2}+b^{2}=c^{2}$　
(2) 解：若$\triangle ABC$为钝角三角形，$a=2,b=1$，则$2＜c＜2+1$，即$2＜c＜3$；
(3) 证明：如图，过点$A$作$AD\perp BC$于点$D$，设$CD=x$，在$Rt\triangle ADC$中，$AD^{2}=b^{2}-x^{2}$，在$Rt\triangle ADB$中，$AD^{2}=c^{2}-(a-x)^{2},\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}+2ax.\because a＞0,x＞0,\therefore 2ax＞0.\therefore a^{2}+b^{2}＞c^{2}$。

14. 已知：$Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle CDE$,$∠B = ∠D = 90^{\circ}$,小芳将两个三角形拼成如图所示图形,且$B$、$C$、$D$三点共线,连接$AE$.
(1)请你用该图证明勾股定理；
证明：$\because Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle CDE,\therefore \angle BAC=\angle DCE.\because \angle BAC+\angle BCA=90^{\circ},\therefore \angle DCE+\angle BCA=90^{\circ}.\therefore \angle ACE=180^{\circ}-\angle DCE-\angle BCA=$90°。梯形$ABDE$的面积$=\frac{(a+b)(a+b)}{2}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ACE}+S_{\triangle CDE}$，即$\frac{(a+b)(a+b)}{2}=$$\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^{2}+\frac{1}{2}ab$，化简整理得$c^{2}=a^{2}+b^{2}$；
(2)若$\triangle ABC$的面积为4,$\triangle ACE$的面积为20.5,求$b - a$的值.
解：$\because \triangle ABC$的面积为4，$\triangle ACE$的面积为20.5，$\therefore \frac{1}{2}ab=4,\frac{1}{2}c^{2}=20.5.\therefore ab=$8,$c^{2}=$41。由(1)知$c^{2}=a^{2}+b^{2}=41.\therefore (b-a)^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab=41-16=$25。由图可知$b-a＞0.\therefore b-a=$5。

答案：
(1) 证明：$\because Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle CDE,\therefore \angle BAC=\angle DCE.\because \angle BAC+\angle BCA=90^{\circ},\therefore \angle DCE+\angle BCA=90^{\circ}.\therefore \angle ACE=180^{\circ}-\angle DCE-\angle BCA=90^{\circ}$。梯形$ABDE$的面积$=\frac{(a+b)(a+b)}{2}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ACE}+S_{\triangle CDE}$，即$\frac{(a+b)(a+b)}{2}=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^{2}+\frac{1}{2}ab$，化简整理得$c^{2}=a^{2}+b^{2}$；
(2) 解：$\because \triangle ABC$的面积为4，$\triangle ACE$的面积为20.5，$\therefore \frac{1}{2}ab=4,\frac{1}{2}c^{2}=20.5.\therefore ab=8,c^{2}=41$。由
(1)知$c^{2}=a^{2}+b^{2}=41.\therefore (b-a)^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab=41-16=25$。由图可知$b-a＞0.\therefore b-a=5$。