《2025年轻松作业本八年级数学上册苏科版》

5. 如图①,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$\angle ABC = 20^{\circ}$,$D是BC$边上的一点,连接$AD$,将$\triangle ACD沿AD$翻折,点$C恰好落在AB边上的点E$处.
(1)求$\angle CAD$的度数；
(2)如图②,将$\triangle ABD绕点A$顺时针旋转,使点$D落在AC的延长线上点F$处,点$B落在AD的延长线上点G$处,连接$BG$.
① 求$\angle FGB$的度数；
② 点$H在AB上且点H$、$F关于AG$对称,点$P是BC$边上的动点,当$PH + PG$的值最小时,请直接写出$\angle GPB$的度数.

答案：
解:
(1)
∵∠ACB=90°,∠ABC=20°,
∴∠CAB=180°−90°−20°=70°,由折叠知,∠CAD=∠DAE,
∴∠CAD=$\frac{1}{2}$∠CAB=35°;
(2)①由旋转知,AB=AG,∠AGF=∠ABC=20°,
∴∠AGB=∠ABG.由
(1)知,∠CAD=∠DAE=35°.
∴∠AGB=$\frac{1}{2}$×(180°−35°)=72.5°.
∴∠FGB=∠FGA+∠AGB=20°+72.5=92.5°;②连接GH交BC于点P，此时PH十PG的值最小，
∵AF=AH,∠FAG=∠HAG,AG=AG,
∴△AFG≌△AHG(SAS).
∴∠AGH=∠AGF=20°.
∴∠GHB=∠GAH+∠AGF=55°.
∴∠GPB=∠GHB+∠ABC=55°+20°=75°.

6. (2025·西安期中)如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$D为线段BC$上的一动点(不与点$B$、$C$重合),连接$AD$,作$\angle ADE = \angle B = 40^{\circ}$,$DE交AC于点E$,以下三个结论：①$\angle DEC = \angle BDA$；② 若$AB = DC$,则$AD = DE$；③ 当$\angle BAD = 30^{\circ}$时,$BD = CE$. 其中正确的是______①②③(填序号).

答案： ①②③

7. 如图,$CD是经过\angle BCA顶点C$的一条直线,$CA = CB$,$E$、$F分别是直线CD$上两点,且$\angle BEC = \angle CFA$.
(1)若直线$CD经过\angle BCA$内部,且$E$、$F在射线CD$上,设$BE ＞ AF$.
① 如图①,若$\angle BCA = 90^{\circ}$,$\angle BEC = 90^{\circ}$,求证：$EF = BE - AF$；
② 如图②,若$\angle BEC + \angle BCA = 180^{\circ}$,①中结论是否成立？请说明理由.成立
(2)如图③,直线$CD经过\angle BCA$外部,若$\angle BEC = \angle BCA$,请直接写出线段$EF$、$BE$、$AF$之间的数量关系.$EF=BE+AF$

答案：
(1)①证明:
∵BE＞AF,
∴E点在F点的左侧.
∵BE⊥CD,∠ACB=90°,
∴∠BEC=∠ACB=90°.
∴∠BCE+∠ACF=90°,∠CBE+∠BCE=90°.
∴∠CBE=∠ACF. 在△BCE 和△CAF 中，$\begin{cases}∠EBC = ∠ACF\\∠BEC = ∠AFC\\BC = AC\end{cases}$，
∴△BCE≌△CAF(AAS).
∴BE=CF,CE=AF.
∴EF=CF−CE=BE−AF; ②解:①中的结论成立;理由如下:
∵∠BEC+∠BCA=180°,即∠BCE+∠ACF+∠BEC=180°,又
∵∠BEC+∠CBE+∠BCE=180°,
∴∠CBE=∠ACF. 在△BCE 和△CAF 中，$\begin{cases}∠EBC = ∠ACF\\∠BEC = ∠AFC\\BC = AC\end{cases}$，
∴△BCE≌△CAF(AAS).
∴BE=CF,CE=AF.
∴EF=CF−CE=BE−AF;
(2)解:EF=BE+AF.理由如下:
∵∠BEC=∠CFA,∠BEC=∠BCA,又
∵∠EBC+∠BCE+∠BEC=180°,∠BCE+∠ACF+∠ACB=180°,
∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF.
∴∠EBC=∠ACF. 在△BEC和△CFA中，$\begin{cases}∠EBC = ∠FCA\\∠BEC = ∠CFA\\BC = CA\end{cases}$，
∴△BEC≌△CFA(AAS).
∴AF=CE,BE=CF.
∵EF=CE+CF,
∴EF=BE+AF.