《2025年轻松作业本八年级数学上册苏科版》

1. 如图,在$\triangle ABC(AB≠AC)$中,$D$、$E在BC$上,且$DE= EC$,过$D作DF// BA$,交$AE于点F$,$AE平分∠BAC$。求证：$DF= AC$。

答案：
证明:如图,延长FE到G,使EG=EF，连接CG.在△DEF 和△CEG中,ED=EC,∠DEF=∠CEG,FE=EG,
∴△DEF≌△CEG.
∴DF=GC,∠DFE=∠G.
∵DF//AB,
∴∠DFE=∠BAE.
∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE=∠CAE.
∴∠G=∠CAE.
∴GC=AC.
∴DF=AC.

2. 如图,在$\triangle ABC$中,$AD平分∠BAC$,$E是BC$上一点,$BE= CD$,$EF// AD交AB于点F$,交$CA的延长线于点P$,$CH// AB交AD的延长线于点H$。
(1) 求证：$\triangle APF$是等腰三角形；
(2) 猜想$AB与PC$的大小有什么关系？证明你的猜想。

答案：

(1)证明:
∵EF//AD,
∴∠1=∠4,∠2=∠P.
∵AD平分∠BAC,
∴∠1=∠2.
∴∠4=∠P.
∴AF=AP,即△APF是等腰三角形;
(2)AB=PC.理由如下:证明:
∵CH//AB,
∴∠5=∠B,∠H=∠1.
∵EF//AD,
∴∠1=∠3.
∴∠H=∠3.在△BEF和△CDH中,
∵{∠5=∠B,∠H=∠3,BE=CD,
∴△BEF≌△CDH(AAS).
∴BF=CH.
∵AD平分∠BAC,
∴∠1=∠2.
∴∠2=∠H.
∴AC=CH.
∴AC=BF.
∵AB=AF+BF,PC=AP+AC,
∴AB=PC.

3. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$D是BC$边的中点,连接$AD$,$BE平分∠ABC交AC于点E$。
(1) 若$∠C= 36^{\circ}$,求$∠BAD$的度数；54°
(2) 过点$E作EF// BC交AB于点F$,求证：$\triangle BEF$是等腰三角形。
证明:∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC.又∵EF//BC,∴∠EBC=∠BEF.∴∠EBF=∠FEB.∴BF=EF.∴△BEF是等腰三角形.

答案：
(1)解:
∵AB=AC,
∴∠C=∠ABC.
∵∠C=36°,
∴∠ABC=36°.
∵AB=AC,D为BC的中点，
∴AD⊥BC.
∴∠BDA=90°.
∴∠BAD=90°−∠ABC=90°−36°=54°;
(2)证明:
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC.又
∵EF//BC,
∴∠EBC=∠BEF.
∴∠EBF=∠FEB.
∴BF=EF.
∴△BEF是等腰三角形.