《2025年轻松作业本八年级数学上册苏科版》

4. 如图,已知$△ABC(AB＜BC)$,用不带刻度的直尺和圆规完成下列作图(不写作法,保留作图痕迹).
(1) 在图①中,在边 BC 上求作一点 D,使得$BA+DC= BC;$
(2) 在图②中,在边 BC 上求作一点 E,使得$AE+EC= BC.$

答案：

(1) 如图①所示, 点 D 即为所求.
(2) 如图②所示, 点 E 即为所求.

5. (2024·南京玄武区月考)用无刻度的直尺和圆规完成下列作图,保留作图痕迹,不写作法.
(1) 如图①,已知四边形 ABCD,$AB= CD$. 在对角线 AC 上求作一点 P,使$△ABP和△CDP$的面积相等;
(2) 如图②,已知四边形 ABCD,在对角线 AC 上求作一点 Q,使得$△ADQ的面积等于△ADB$的面积的一半.

答案：

(1) 如图①, 延长 BA, CD, 相交于点 M, 作 $ ∠BMC $ 的平分线, 交 AC 于点 P, 则点 P 到 AB 和 CD 的距离相等, $ \because AB = CD $, $ \therefore △ABP $ 和 $ △CDP $ 的面积相等, 则点 P 即为所求;
(2) 如图②, 过点 B 作 AD 的平行线, 交 AC 于点 M, 再作线段 AM 的垂直平分线, 交 AC 于点 Q, 则点 Q 到 AD 的距离等于点 M 到 AD 的距离的一半, 即点 Q 到 AD 的距离等于点 B 到 AD 的距离的一半, $ \therefore △ADQ $ 的面积等于 $ △ADB $ 的面积的一半, 则点 Q 即为所求.

6. 如图,在等腰$△ABC$中,已知$AC= BC$,M 是 AB 的中点.
(1) 请用无刻度的直尺和圆规作腰 BC 上的高,交 BC 于点 D(保留作图痕迹,不要求写作法).
(2) 在(1)的条件下,连接 CM 交 AD 于点 N,若$AD= CD$,求证:$DN= BD.$

答案：

(1) 如图所示, 根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可, AD 即为所求;
(2) 如图所示, 连接 CM 交 AD 于点 N, 由
(1) 得, $ AD ⊥ BC $, $ \because AC = BC $, M 是 AB 的中点, $ \therefore CM ⊥ AB $. $ \therefore ∠AMN = ∠CDN = 90° $. $ \because ∠ANM = ∠CND $, $ \therefore ∠DCN = ∠DAB $. $ \because AD = CD $, $ ∠CDN = ∠ADB $, $ \therefore △CDN ≌ △ADB(ASA) $. $ \therefore DN = BD $.