《2025年轻松作业本八年级数学上册苏科版》

8. 如图,$AD是\triangle ABC$的角平分线,$DF\perp AB$,垂足为$F$,且$DE = DG$,则$\angle AED+\angle AGD = $ (A)

A. $180^{\circ}$
B. $200^{\circ}$
C. $210^{\circ}$
D. $240^{\circ}$

答案： A

9. 如图,$\triangle ABC的三边AC$、$BC$、$AB的长分别是8$、$12$、$16$,点$O是\triangle ABC$三条角平分线的交点,则$S_{\triangle OAB}:S_{\triangle OBC}:S_{\triangle OAC}$的值为$ 4 : 3 : 2 $.

答案： $ 4 : 3 : 2 $

10. 如图,点$A为\angle MON$的平分线上一点,过$A任作一直线分别与\angle MON的两边交于B$、$C$两点,$P为BC$中点,过$P作BC的垂线交OA于点D$,$\angle BDC = 50^{\circ}$,则$\angle MON = $$130^\circ$.

答案： $ 130^\circ $

11. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$.沿$DE$折叠,使点$A与点B$重合,折痕为$DE$.若$DE = CE$,求$\angle A$的度数.

解：由折叠可知：$ \angle A = \angle ABE $，$ \angle BDE = \angle ADE = 90^\circ $。在 $ \text{Rt} \triangle BCE $ 和 $ \text{Rt} \triangle BDE $ 中，∵ $ CE = DE $，$ BE = BE $，∴ $ \text{Rt} \triangle BCE \cong \text{Rt} \triangle BDE $。∴ $ \angle CBE = \angle DBE $。∴ $ \angle A = \angle ABE = \angle CBE $。在 $ \text{Rt} \triangle ABC $ 中，∵ $ \angle A + \angle ABE + \angle CBE = 90^\circ $，∴ $ 3 \angle A = 90^\circ $。∴ $ \angle A = $$30^\circ$。

答案： 解：由折叠可知：$ \angle A = \angle ABE $，$ \angle BDE = \angle ADE = 90^\circ $。在 $ \text{Rt} \triangle BCE $ 和 $ \text{Rt} \triangle BDE $ 中，
∵ $ CE = DE $，$ BE = BE $，
∴ $ \text{Rt} \triangle BCE \cong \text{Rt} \triangle BDE $。
∴ $ \angle CBE = \angle DBE $。
∴ $ \angle A = \angle ABE = \angle CBE $。在 $ \text{Rt} \triangle ABC $ 中，
∵ $ \angle A + \angle ABE + \angle CBE = 90^\circ $，
∴ $ 3 \angle A = 90^\circ $。
∴ $ \angle A = 30^\circ $。

12. 如图,在$\triangle ABC$中,$AD平分\angle BAC$,$\angle C = 90^{\circ}$,$DE\perp AB于点E$,点$F在AC$上,$BD = DF$.
(1) 求证:$CF = EB$;
(2) 若$AB = 12$,$AF = 8$,求$CF$的长.

(1) 证明：∵ $ AD $ 平分 $ \angle BAC $，$ \angle C = 90^\circ $，$ DE \perp AB $ 于点 $ E $，∴ $ DE = DC $。在 $ \triangle CDF $ 与 $ \triangle EDB $ 中，∵ $ DF = DB $，$ DC = DE $，∴ $ \text{Rt} \triangle CDF \cong \text{Rt} \triangle EDB $。∴ $ CF = EB $；
(2) 解：设 $ CF = x $，则 $ AE = 12 - x $，由（1）知：$ CD = DE $。在 $ \text{Rt} \triangle ACD $ 与 $ \text{Rt} \triangle AED $ 中，∵ $ AD = AD $，$ CD = DE $，∴ $ \triangle ACD \cong \triangle AED $。∴ $ AC = AE $，即 $ 8 + x = 12 - x $，解得 $ x = 2$，即 $ CF = 2$。

答案： （1）证明：
∵ $ AD $ 平分 $ \angle BAC $，$ \angle C = 90^\circ $，$ DE \perp AB $ 于点 $ E $，
∴ $ DE = DC $。在 $ \triangle CDF $ 与 $ \triangle EDB $ 中，
∵ $ DF = DB $，$ DC = DE $，
∴ $ \text{Rt} \triangle CDF \cong \text{Rt} \triangle EDB $。
∴ $ CF = EB $；
（2）解：设 $ CF = x $，则 $ AE = 12 - x $，由（1）知：$ CD = DE $。在 $ \text{Rt} \triangle ACD $ 与 $ \text{Rt} \triangle AED $ 中，
∵ $ AD = AD $，$ CD = DE $，
∴ $ \triangle ACD \cong \triangle AED $。
∴ $ AC = AE $，即 $ 8 + x = 12 - x $，解得 $ x = 2 $，即 $ CF = 2 $。

13. 如图,$AD// BC$,$CD\perp AD$,$AE平分\angle BAD$,且$E是DC$的中点,$EF\perp AB于点F$.$AD$、$BC与AB$之间有什么数量关系? 请说明理由.

解：$ AD + BC = AB $理由：连接 $ BE $。∵ $ AE $ 平分 $ \angle BAD $，$ CD \perp AD $，$ EF \perp AB $，∴ $ DE = FE $。又∵ $ AE = AE $，∴ $ \text{Rt} \triangle ADE \cong \text{Rt} \triangle AFE $（HL）。∴ $ AD = AF $。∵ $ AD // BC $，$ CD \perp AD $，∴ $ CD \perp BC $。∴ $ \angle BFE = \angle C = 90^\circ $。又∵ $ E $ 为 $ DC $ 的中点，∴ $ CE = DE = FE $。又∵ $ BE = BE $，∴ $ \text{Rt} \triangle BEF \cong \text{Rt} \triangle BEC $（HL）。∴ $ BF = BC $。∴ $ AD + BC = AF + BF = AB $。

答案： 解：$ AD + BC = AB $ 理由：连接 $ BE $。
∵ $ AE $ 平分 $ \angle BAD $，$ CD \perp AD $，$ EF \perp AB $，
∴ $ DE = FE $。又
∵ $ AE = AE $，
∴ $ \text{Rt} \triangle ADE \cong \text{Rt} \triangle AFE $（HL）。
∴ $ AD = AF $。
∵ $ AD // BC $，$ CD \perp AD $，
∴ $ CD \perp BC $。
∴ $ \angle BFE = \angle C = 90^\circ $。又
∵ $ E $ 为 $ DC $ 的中点，
∴ $ CE = DE = FE $。又
∵ $ BE = BE $，
∴ $ \text{Rt} \triangle BEF \cong \text{Rt} \triangle BEC $（HL）。
∴ $ BF = BC $。
∴ $ AD + BC = AF + BF = AB $。