《2025年轻松作业本八年级数学上册苏科版》

11. 对于两个不相等的整数a、b,定义一种新的运算如下：$a*b = \frac{\sqrt{a + b}}{a - b}(a + b ＞ 0)$,如：$3*2 = \frac{\sqrt{3 + 2}}{3 - 2} = \sqrt{5}$,那么$8*(6*3) = $$\frac{3}{7}$．

答案： $\frac{3}{7}$

12. 求下列各数的算术平方根：
(1) 0.49；
(2) $\sqrt{\frac{81}{16}}$；
(3) $-(-225)$．

答案：
(1) 0.7
(2) $\frac{3}{2}$
(3) 15

13. 已知$\sqrt{a - 1}$的值是2,$2a + b - 1$的算术平方根是4．
(1) 求a、b的值；
(2) 求$2a - b$的算术平方根．

答案： 解：
(1)
∵ $\sqrt{a - 1}$ 的值是2，$2a + b - 1$ 的算术平方根是4，
∴ $a - 1 = 4$，$2a + b - 1 = 16$。
∴ $a = 5$，$b = 7$；
(2)
∵ $2a - b = 2×5 - 7 = 3$，
∴ $2a - b$ 的算术平方根为 $\sqrt{3}$。

14. 数组$\{a,b,c\}$中,a,b,c为三个互不相等的正整数,若一个数组中任意两个数的乘积的算术平方根都为整数,则称这个数组为“完美数组”．例如,数组$\{3,12,27\}$,经过计算可知$\sqrt{3×12} = 6$,$\sqrt{3×27} = 9$,$\sqrt{12×27} = 18$,所以数组$\{3,12,27\}$为“完美数组”．
(1) 请你判断：$\{2,8,18\}$是“完美数组”,$\{3,9,27\}$不是“完美数组”(填“是”或“不是”)；
(2) 若$\{5,20,m\}$为“完美数组”,其中有两个数乘积的算术平方根为20,求m的值．
80

答案： 解：
(1)
∵ $\sqrt{2×8} = 4$，$\sqrt{2×18} = 6$，$\sqrt{8×18} = 12$，
∴ 数组 $\{2, 8, 18\}$ 是“完美数组”。
∵ $\sqrt{3×9} = 3\sqrt{3}$，不是整数，
∴ 数组 $\{3, 9, 27\}$ 不是“完美数组”；
(2)
∵ $\{5, 20, m\}$ 为“完美数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为20，
∴ $\sqrt{5m} = 20$ 或 $\sqrt{20m} = 20$。
∴ $m = 80$ 或 $m = 20$（不合题意，舍去）。
∴ $m = 80$。

15. 在一次活动课中,小明同学用一根绳子围成一个长宽之比为$3:1$,面积为$75cm^{2}$的长方形．
(1) 求长方形的长和宽；
(2) 他用另一根绳子围成一个正方形,且正方形的面积等于原来围成的长方形面积,他说：“围成的正方形的边长与原来长方形的宽之差大于3cm．”请你判断他的说法是否正确,并说明理由．

答案： 解：
(1) 根据题意设长方形的长为 $3x$ cm，宽为 $x$ cm，则 $3x·x = 75$，即 $x^2 = 25$，
∵ $x ＞ 0$，
∴ $x = 5$。
∴ $3x = 15$，答：长方形的长为15 cm，宽为5 cm；
(2) 设正方形的边长为 $y$ cm，根据题意可得，$y^2 = 75$。
∵ $y ＞ 0$，
∴ $y = \sqrt{75}$。
∵ 原来长方形的宽为5 cm，
∴ 正方形的边长与长方形的宽之差为：$\sqrt{75} - 5$。
∵ $\sqrt{64} ＜ \sqrt{75} ＜ \sqrt{81}$，即 $8 ＜ \sqrt{75} ＜ 9$，
∴ $3 ＜ \sqrt{75} - 5 ＜ 4$，所以他的说法正确。