《2025年轻松作业本八年级数学上册苏科版》

8. 如图,$\triangle ABC$是等边三角形,BD是AC边上的高,延长BC到E使$CE= CD$,则图中等腰三角形的个数是 (C)

A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

答案： 8.C

9. 如图,$∠AOB= 60^{\circ },OA= OB$,动点C从点O出发,沿射线OB方向移动,以AC为边在右侧作等边三角形ACD,连接BD,则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是 (A)

A. 平行
B. 相交
C. 垂直
D. 平行、相交或垂直

答案： 9.A

10. 如图,六边形ABCDEF的六个角都是$120^{\circ }$,边长$AB= 1cm,BC= 3cm,CD= 3cm,DE= 2cm$,则这个六边形的周长是______15cm.

答案： 10.15

11. 在$\triangle ABC$中,$∠C= 3∠B$,AD平分$∠BAC$交BC于D.
(1) 如图①,若$AE⊥BC$于E,$∠C= 75^{\circ }$,求$∠DAE$的度数;25°
(2) 如图②,若$DF⊥AD$交AB于F,求证:$BF= DF$.证明:设∠B=α,则∠C=3α,∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−4α,∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=90°−2α.∵DF⊥AD,∴∠ADF=90°.∴∠AFD=90°−∠BAD=2α.∵∠AFD=∠B+∠BDF,∴∠BDF=α=∠B.∴BF=DF.

答案： 11.
(1)解:
∵∠C=3∠B,∠C=75°,
∴∠B=25°.
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=80°.
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=40°.
∴∠ADE=∠BAD+∠B=65°.
∵AE⊥BC,
∴∠AED=90°.
∴∠DAE=90°−∠ADE=90°−65°=25°;
(2)证明:设∠B=α,则∠C=3α,∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−4α,
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=90°−2α.
∵DF⊥AD,
∴∠ADF=90°.
∴∠AFD=90°−∠BAD=2α.
∵∠AFD=∠B+∠BDF,
∴∠BDF=α=∠B.
∴BF=DF.

12. 如图,在四边形ABCD中,$AB= AD,CB= CD$,点E为AD上一点,连接BD、CE交于点F,$CE// AB$.
(1) 若$\triangle ABD$为等边三角形,请判断$\triangle DEF$的形状,并说明理由;
(2) 若$AD= 12,CE= 9$,求CF的长.

答案：
12. 解:
(1)△DEF是等边三角形，理由如下:
∵△ABD为等边三角形，
∴∠ADB=60°,∠ABD=60°.
∵CE//AB,
∴∠DEF=∠A=60°,∠EFD=∠ABD=60°.
∴△DEF是等边三角形;
(2)连接AC，交BD于点O,如图，
∵AB=AD,CB=CD,
∴AC垂直平分BD.
∴AO⊥BD.
∴∠BAO=∠DAO=30°.
∵CE//AB,
∴∠ACE=∠BAO=∠DAO.
∴AE=CE=9.
∴DE=AD−AE=12−9=3.
∵△DEF是等腰三角形，
∴EF=DE=3.
∴CF=CE−EF=6.

13. 在$\triangle ABC$中,$AB= AC,∠BAC= 120^{\circ },AD⊥BC$,垂足为G,且$AD= AB,∠EDF= 60^{\circ }$,其两边分别交边AB、AC于点E、F.求证:
(1) $\triangle ABD$是等边三角形;
(2) $BE= AF$.
(1)证明:∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠BAD=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC.∵∠BAC=120°,∴∠BAD=∠DAC=$\frac{1}{2}$×120°=60°.∵AD=AB,∴△ABD是等边三角形;
(2)证明:∵△ABD是等边三角形，∴∠ABD=∠ADB=60°,BD=AD.∵∠EDF=60°,∴∠BDE=∠ADF.在△BDE与△ADF中，$\left\{ \begin{array} { l } { ∠ D B E = ∠ D A F = 60 ^ { \circ }, } \\ { B D = A D, } \\ { ∠ B D E = ∠ A D F, } \end{array} \right.$ ∴△BDE≌△ADF（ASA）.∴BE=AF.

答案： 13.证明:
(1)
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠BAD=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC.
∵∠BAC=120°,
∴∠BAD=∠DAC=$\frac{1}{2}$×120°=60°.
∵AD=AB,
∴△ABD是等边三角形;
(2)
∵△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=∠ADB=60°,BD=AD.
∵∠EDF=60°,
∴∠BDE=∠ADF.在△BDE与△ADF中，$\left\{ \begin{array} { l } { ∠ D B E = ∠ D A F = 60 ^ { \circ }, } \\ { B D = A D, } \\ { ∠ B D E = ∠ A D F, } \end{array} \right.$
∴△BDE≌△ADF（ASA）.
∴BE=AF.