《2025年思维新观察八年级数学上册人教版湖北专版》

【典例】如图,$AB= BC,\angle B= 60^{\circ}$,点$D在BC$上,$\angle ADE= 60^{\circ},CE// AB,AB= 5,CD= 2$,求$CE$的长.

解:证法一:(截长法)在 CA 上截取 $ CM = CD $，连接 DM，证 $ \triangle DCE \cong \triangle DMA $，$\therefore CE = $3。
证法二:(补短法)延长 EC 至 N，使 $ CN = CD $，证 $ \triangle EDN \cong \triangle ADC $，$\therefore CE = $3。
证法三:作 $ DM // AC $ 交 AB 于 M，证 $ \triangle AMD \cong \triangle DCE $，$\therefore CE = $3。

答案： 解:证法一:(截长法)在 CA 上截取 $ CM = CD $，连接 DM，证 $ \triangle DCE \cong \triangle DMA $，$\therefore CE = 3 $。
证法二:(补短法)延长 EC 至 N，使 $ CN = CD $，证 $ \triangle EDN \cong \triangle ADC $，$\therefore CE = 3 $。
证法三:作 $ DM // AC $ 交 AB 于 M，证 $ \triangle AMD \cong \triangle DCE $，$\therefore CE = 3 $。

变式1.如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB= 60^{\circ},AD\perp BC于D$,以$AB为边作等边\triangle ABE$,连$CE$,若$BD= 2,AC= 10$,求$CE$的长.

解:由 $ \angle AEB = \angle ACB = 60^{\circ} $，$\therefore \angle CAE = \angle CBE $，在 AC 上截取 $ AM = BC $，连接 EM，证 $ \triangle BCE \cong \triangle AME $，$\therefore CE = EM $，$ \angle AEM = \angle BEC $，$\therefore \angle MEC = 60^{\circ} $，$\therefore \triangle CEM $ 是等边三角形，$\therefore CE = 10 - 7 = $3。

答案： 解:由 $ \angle AEB = \angle ACB = 60^{\circ} $，$\therefore \angle CAE = \angle CBE $，在 AC 上截取 $ AM = BC $，连接 EM，证 $ \triangle BCE \cong \triangle AME $，$\therefore CE = EM $，$ \angle AEM = \angle BEC $，$\therefore \angle MEC = 60^{\circ} $，$\therefore \triangle CEM $ 是等边三角形，$\therefore CE = 10 - 7 = 3 $。

变式2.(2023·青山)等边$\triangle ABC$边长为5,$D,E在AB,AC$上,$\triangle DEF$为等边三角形,且$EF= CF$,求$AD$的长.

解:作 $ EM // AB $ 交 BC 于 M 点，连接 DM，$ \triangle DEM \cong \triangle FEC $，$\therefore DM = DE $，$\therefore \triangle ADE \cong \triangle BDM \Rightarrow AD = BD = 2.5 $。

答案： 解:作 $ EM // AB $ 交 BC 于 M 点，连接 DM，$ \triangle DEM \cong \triangle FEC $，$\therefore DM = DE $，$\therefore \triangle ADE \cong \triangle BDM \Rightarrow AD = BD = 2.5 $。