《2025年思维新观察八年级数学上册人教版湖北专版》

7.如图,AC⊥BC,BD⊥AD,AC,BD相交于点O,若AC= BD,求证:AD= BC.
证明：连接AB，
∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠ADB=∠BCA=90°，
在Rt△ABD和Rt△BAC中，
BD=AC，
AB=BA，
∴Rt△ABD≌Rt△BAC(HL)，
∴AD=BC.

答案： 1. 首先连接$AB$：
因为$AC\perp BC$，$BD\perp AD$，所以$\angle ADB = 90^{\circ}$，$\angle BCA = 90^{\circ}$。
2. 然后在$Rt\triangle ABD$和$Rt\triangle BAC$中：
已知$AC = BD$（题目所给条件），$AB$是$Rt\triangle ABD$和$Rt\triangle BAC$的公共边，即$AB = BA$。
根据直角 - 斜边 - 直角边定理（$HL$定理：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等）。
在$Rt\triangle ABD$和$Rt\triangle BAC$中，$\left\{\begin{array}{l}BD = AC\\AB = BA\end{array}\right.$。
所以$Rt\triangle ABD\cong Rt\triangle BAC(HL)$。
3. 最后根据全等三角形的性质：
全等三角形的对应边相等，因为$Rt\triangle ABD\cong Rt\triangle BAC$，所以$AD = BC$。
综上，$AD = BC$得证。

8.如图,在△ABC中,点D为BC中点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,若DE= DF,求证:AB= AC.
证明:连接AD,
方法1:Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),
Rt△ADE≌Rt△ADF(HL),
∴BE=CF,∴AE=AF,∴AB=AC;
方法2:由$S_{△ABD}=S_{△ACD}$得AB=AC.

答案： 证明:连接AD,
方法1:Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),
Rt△ADE≌Rt△ADF(HL),
∴BE=CF,
∴AE=AF,
∴AB=AC;
方法2:由$S_{△ABD}=S_{△ACD}$得AB=AC.

9.如图,五边形ABCDE中,AB= AE,∠B= ∠E,BC= ED,AP⊥CD于P,求证:P为CD的中点.
证明:连接AC,AD,证△ABC≌△AED,再证Rt△ACP≌Rt△ADP(HL),∴CP=DP.

答案： 证明:连接AC,AD,
证△ABC≌△AED,再证Rt△ACP≌Rt△ADP(HL),
∴CP=DP.

10.如图,AD⊥BD,AE⊥CE,AB= AC,AD= AE,CE的延长线交BD于F点,
(1)求证:DF= EF;
证明:连接AF,
在Rt△ADF和Rt△AEF中,AD=AE,AF=AF,
∴Rt△ADF≌Rt△AEF(HL).
∴DF=EF;
(2)若DF= 1,BF= 3,求CF的长.
在Rt△ABD和Rt△ACE中,AB=AC,AD=AE,
∴Rt△ABD≌Rt△ACE(HL).
∴BD=CE;
∵DF=1,BF=3,
∴BD=BF+DF=3+1=4,
∴CE=BD=4,
∵DF=EF=1,
∴CF=EF+CE=1+4=5.

答案： 证明:连接AF,
(1)Rt△ADF≌Rt△AEF.
∴DF=EF;
(2)Rt△ABD≌Rt△ACE,
∴BD=CE;
CF=EF+CE=DF+BD=1+4=5.

11.如图,AD//BC,AD= BC,点E在边AB上,DE= AC,CF⊥AB于点F.求证F是BE的中点.
证明:过点D作DH⊥AB交BA的延长线于点H,
∵AD//BC,∴∠DAH=∠B,∵CF⊥AB,DH⊥AB,∴∠AHD=∠BFC=90°,在△DAH和△CBF中,∠DAH=∠B,∠AHD=∠BFC,AD=BC,∴△CBF≌△DAH(AAS),
∴DH=CF,BF=AH,在Rt△DEH和Rt△CAF中,DE=AC,DH=CF,∴△DEH≌△CAF(HL),
∴HE=AF,∵HE=HA+AE,AF=AE+EF,∴HA=EF,∵BF=AH,∴BF=EF,即F是BE的中点.

答案： 证明:过点D作DH⊥AB交BA的延长线于点H,
∴△CBF≌△DAH,
∴DH=CF,
∴BF=AH,
∴△DEH≌△CAF(HL),
∴HE=AF,
∴HA=EF=BF.