《2025年思维新观察八年级数学上册人教版湖北专版》

问题：如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle BAC = 108^\circ $,$ AB = AC $,$ BD $ 平分 $ \angle ABC $,交 $ AC $ 于 $ D $,求证：$ BC = CD + AB $。(用两种方法)

答案： 方法一:(截长法)在 BC 上取点 E,使 $ BE = BA $.
连 DE,再证 $ \triangle ABD \cong \triangle EBD $, $ \angle BED = \angle A = 108^\circ $, $ \therefore \angle DEC = \angle CDE = 72^\circ $, $ CD = CE $ 即可.
方法二:(补短法)延长 BA 至 E,使 $ BE = BC $.
连 DE,只证 $ CD = DE = AE $ 即可.

变式 1. 如图,$ \text{Rt} \triangle ABC $ 中,$ \angle ACB = 90^\circ $,点 $ D $ 在 $ BC $ 上,$ AD = BD $,过 $ D $ 点作 $ DE \perp AD $ 交 $ AB $ 于 $ E $ 点,$ EM \perp BC $ 于 $ M $ 点,求证：$ AC = DE + EM $。


证明：方法 1(补短法):过 B 点作 $ BH \perp DE $ 交直线 DE 于 H 点,证 $ \triangle BEM \cong \triangle BEH $, $ \triangle ACD \cong \triangle DHB $, $ \therefore AC = DH = DE + EM $。
方法 2(截长法):在 AC 上取点 G 使 $ AG = DE $,证 $ \triangle ADG \cong \triangle DBE $, $ \therefore DG = BE \Rightarrow \angle GDA = \angle B = \angle DAB \Rightarrow DG // AB $,再证 $ \triangle BEM \cong \triangle DGC $。

答案： 方法 1(补短法):过 B 点作 $ BH \perp DE $ 交直线 DE 于 H 点,证 $ \triangle BEM \cong \triangle BEH $, $ \triangle ACD \cong \triangle DHB $, $ \therefore AC = DH = DE + EM $.
方法 2(截长法):在 AC 上取点 G 使 $ AG = DE $,证 $ \triangle ADG \cong \triangle DBE $, $ \therefore DG = BE \Rightarrow \angle GDA = \angle B = \angle DAB \Rightarrow DG // AB $,再证 $ \triangle BEM \cong \triangle DGC $.

变式 2. 如图,在等腰 $ \text{Rt} \triangle ABC $ 中,$ AB = AC $,过点 $ C $ 作 $ BC $ 的垂线 $ CD $,点 $ E $ 为 $ BC $ 上一点,且 $ \angle 1 = \angle 2 $,求证：$ BE + CD = DE $。

答案： 方法一:(截长法)在 DE 上取点 M,使 $ DM = CD $.
连 BM,AM,则 $ \triangle DCA \cong \triangle DMA $, $ \therefore AM = AC = AB $, $ \therefore \angle ABM = \angle AMB $, $ \therefore \angle EMA = 45^\circ = \angle ABE $, $ \therefore \angle EBM = \angle EMB $, $ \therefore BE = EM $,
$ \therefore BE + CD = DE $.
方法二:(补短法)延长 EB 至 N,使 $ BN = CD $.
连 AN,DN,则 $ \triangle ABN \cong \triangle ACD $, $ \therefore AN = AD $, $ \angle 1 = \angle ANB $, $ \because \angle AND = \angle ADN $, $ \therefore \angle END = \angle EDN $, $ \therefore ED = EN = BE + BN = BE + CD $.