《2025年思维新观察八年级数学上册人教版湖北专版》

【典例1】分解因式：$ax + by + bx + ay$．

答案： 解:原式$=(ax+bx)+(by+ay)$
$=x(a+b)+y(a+b)$
$=(a+b)(x+y).$

变式．分解因式．(1)$2ax - by + 2bx - ay$； (2)$a^{2}xy + b^{2}xy + abx^{2} + aby^{2}$；
(3)$a^{2} + a - b^{2} - b$； (4)$x^{2} - y^{2} + x + y$；
(5)$x^{2} - 2x - 9y^{2} - 6y$； (6)$x^{2} - 4y^{2} + 2x + 4y$．

答案：
(1)原式$=2x(a+b)-y(a+b)$
$=(a+b)(2x-y);$
(2)原式$=(a^{2}xy+abx^{2})+(b^{2}xy+aby^{2})$
$=ax(ay+bx)+by(bx+ay)$
$=(ay+bx)(ax+by);$
(3)原式$=(a-b)(a+b+1);$
(4)原式$=(x+y)(x-y+1)$
(5)原式$=(x+3y)(x-3y-2);$
(6)原式$=(x+2y)(x-2y+2).$

【典例2】分解因式．
(1)$x^{2} - 1 - 4xy + 4y^{2}$； (2)$x^{2} - 2xy + y^{2} - 9$．

答案：
(1)原式$=x^{2}-4xy+4y^{2}-1$
$=(x-2y)^{2}-1^{2}$
$=(x-2y+1)(x-2y-1);$
(2)原式$=(x-y)^{2}-3^{2}$
$=(x-y+3)(x-y-3).$

变式．分解因式．
(1)$m^{4} - 5m^{2} + 4$； (2)$x^{2} - 4x - 21$；
(3)$p^{2} - 9 - 2pq + q^{2}$； (4)$x^{3} - 4x^{2}y + 4xy^{2} - 9x$；
(5)$4x^{2} - 4xy + y^{2} - 4$； (6)$m - m^{3} + 2m^{2}n - mn^{2}$．

答案：
(1)原式$=m^{4}-4m^{2}+4-m^{2}$
$=(m^{2}-2)^{2}-m^{2}$
$=(m^{2}+m-2)(m^{2}-m-2)$
$=(m+1)(m+2)(m-1)(m-2);$
(2)原式$=x^{2}-4x+4-25$
$=(x-2)^{2}-5^{2}$
$=(x+3)(x-7).$
(3)原式$=(p-q+3)(p-q-3);$
(4)原式$=x(x-2y+3)(x-2y-3);$
(5)原式$=(2x-y+2)(2x-y-2);$
(6)原式$=m(1+m-n)(1-m+n).$