《2025年思维新观察八年级数学上册人教版湖北专版》

问题:如图,在$\triangle ABC$中,$∠ABC= 2∠C$,若$AD平分∠BAC交BC于点D$,求证:$AB+BD= AC$.

答案： 方法一：(延长法)延长 AB 至 E，使 BE = BD，连接 DE.
证△AED ≌ △ACD 即可.
方法二：(截取法)在 AC 上截取 AE = AB，连接 DE.
证△ABD ≌ △AED 即可.

变式1.如图,$P为\triangle ABC$角平分线的交点,$∠CAB= 2∠ABC$,求证:$BC= AC+AP$.



证明:方法 1(截长法)：在 BC 上取CM = AC，连接 PM，△APC ≌ △MPC，∴AP = PM = BM，∴BC = AC + AP.
方法 2(补短法)：延长 CA 至 N 点，使CN = CB，
∴△CPN ≌ △CPB，∴∠N = ∠PBC ⇒ AP = AN，
∴BC = AC + AP.

答案： 方法 1(截长法)：在 BC 上取 CM = AC，连接 PM，△APC ≌ △MPC，
∴AP = PM = BM，
∴BC = AC + AP.
方法 2(补短法)：延长 CA 至 N 点，使 CN = CB，
∴△CPN ≌ △CPB，
∴∠N = ∠PBC ⇒ AP = AN，
∴BC = AC + AP.

变式2.如图,在$\triangle ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ}$,$D在BC$上,$∠ABC= 2∠CAD$.求证:$BD= 2BC-AB$.

证明：延长 BC 至 E，使 CE = BC，
设∠CAD = α，
则∠ABC = 2α，∠BAC = 90° - 2α，∠EAC = ∠BAC = 90° - 2α，
∠BAD = ∠BAC - ∠CAD = 90° - 3α，∠EAD = ∠EAC + ∠CAD = 90° - α，
∠ADC = 90° - α，∠ADC = ∠EAD，
∴AE = ED，
又∵AC垂直平分BE，∴AB = AE，
∴ED = AB，
∵BD = BE - ED，BE = 2BC，
∴BD = 2BC - AB.

答案： 解：延长 BC 至 E，使 CE = BC，
设∠CAD = α，
∠ADC = 90° - α，∠EAD = 90° - α，
∴AB = AE = ED，
∴BD = 2BC - AB.

变式3.如图,在$\triangle ABC$中,$∠ABC= 2∠C$,若$AD⊥BC于D$,$BD= 4$,$CD= 16$,求$AB$的长.

AB的长为12.

答案： 方法一：(截取法)在 DC 上截取 DF = BD，连接 AF.
则∠ABC = ∠AFB = 2∠C，
∴∠FAC = ∠C，
∴BD = DF = 4，
∴AB = 12.
方法二：(延长法)延长 CB 到 F，使 BF = AB.
可得∠F = ∠C，FD = DC = 16，
∴AB = BF = 12.