《2025年思维新观察八年级数学上册人教版湖北专版》

9.用圆规与直尺作图：
(1)(教材P59T8改编)如图,$A$,$B$,$C$是新建的三个居民小区,政府拟在与三个居民小区距离相等的地方修建一所学校,要求学校到三个小区的距离相等,请在图中作出学校的位置$M$。
(2)(教材P71T12改编)如图,有两条国道相交于$O$点,在$\angle AOB的内部有两村庄C$,$D$,现要修建一加油站$P$,使点$P到OA$,$OB$的距离相等,且使$PC= PD$,用尺规作图,作出加油站$P$的位置(不写作法)。
(3)如图,在$\triangle ABC$中,$AB= 5$,$BC= 3$,以点$B$为圆心,$BC$长为半径画弧,与$AC交于点D$,再分别以$A$,$D$为圆心,大于$\frac{1}{2}AD$的长为半径画弧,两弧交于点$E$,$F$,作直线$EF$,交$AB于点G$,连接$DG$,则$\triangle BDG$的周长为____。

答案：

(1) 垂直平分线的交点。

(2) $CD$ 的垂直平分线与 $ \angle AOB$ 的平分线的交点。

(3) 8

10.(教材P67T1改编)如图,在$\triangle ABE$中,$AD\perp BE于D$,$C是BE$上一点,$BD= DC$,且点$C在AE$的垂直平分线上,若$\triangle ABC的周长为22\mathrm{cm}$,求$DE$的长。

$DE$的长为11cm。

答案： 解: $DE = CD + CE = CD + AC = \frac{1}{2} \times 22 = 11(\text{cm})$。

11.如图,四边形$ABCD$中,$CE垂直平分AD$,$CF垂直平分AB$。
(1)求证：$CD= CB$；
证明：连接$AC$。
∵$CE$垂直平分$AD$，∴$CD = CA$。
∵$CF$垂直平分$AB$，∴$CB = CA$。
∴$CD = CB$。
(2)若$\angle DAB= 110^{\circ}$,求$\angle DCB$的大小。
解：由(1)知$CD=CA$，$CB=CA$，
可得$\triangle ACE \cong \triangle DCE$，$\triangle ACF \cong \triangle BCF$，
∴$\angle CAD = \angle D$，$\angle CAB = \angle B$。
∵$\angle DAB=\angle CAD+\angle CAB = 110^{\circ}$，
∴$\angle D+\angle B=\angle CAD+\angle CAB = 110^{\circ}$。
在四边形$ABCD$中，$\angle DAB+\angle B+\angle DCB+\angle D=360^{\circ}$，
∴$\angle DCB=360^{\circ}-(\angle DAB+\angle B+\angle D)=360^{\circ}-(110^{\circ}+110^{\circ})=$$140^{\circ}$。
故$\angle DCB$的大小为$140^{\circ}$。

答案： 解: 连接 $AC$。
(1) $\therefore CD = CA$，$CB = CA$，$\therefore CD = CB$；
(2) $ \triangle ACE \cong \triangle DCE$，$ \triangle ACF \cong \triangle BCF$，
$\therefore \angle CAD = \angle D$，$ \angle CAB = \angle B$，
$\therefore \angle DCB = 360^{\circ} - 220^{\circ} = 140^{\circ}$。