《2025年思维新观察八年级数学上册人教版湖北专版》

【典例1】若$a+b= 6$,$ab= 4$,求下列式子的值：
(1)$a^{2}+b^{2}=$28； (2)$(a-b)^{2}=$20； (3)$\frac {b}{a}+\frac {a}{b}=$7．

答案： 解：
(1)28；
(2)20；
(3)7.

变式.已知$a-b= 3$,$ab= 2$,求下列式子的值：
(1)$(a+b)^{2}=$17； (2)$a^{2}-6ab+b^{2}=$1．

答案： 解：
(1)17；
(2)1.

【典例2】已知$x^{2}-4x+1= 0$,求$x^{4}+\frac {1}{x^{4}}$的值．

答案： 解：
∵$x^{2}-4x+1=0$，
∴$x+\frac{1}{x}=4$.$(x+\frac{1}{x})^{2}=16$，$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=14$，$x^{4}+\frac{1}{x^{4}}=194$.

变式.已知$a-\frac {2}{a}= 4$,求$(a+\frac {2}{a})^{2}$的值．

答案： 解：
∵$(a-\frac{2}{a})^{2}=a^{2}+\frac{4}{a^{2}}-4=16$，
∴$a^{2}+\frac{4}{a^{2}}=20$，
∴$(a+\frac{2}{a})^{2}=20+4=24$.

【典例3】已知$(x-518)(x-512)= -12$,求$(x-518)^{2}+(x-512)^{2}$的值．

答案： 解：设$x-518=a$，$x-512=b$，$ab=-12$，
∴$b-a=6$，
∴$(b-a)^{2}=36$$\Rightarrow a^{2}+b^{2}-2ab=36$，$a^{2}+b^{2}=36-24=12$，
∴$(x-518)^{2}+(x-512)^{2}=12$.

变式.已知实数$a$,$b$,$x$,$y$满足$ax+by= 3$,$ay-bx= 5$,求$(a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2})$的值．34

答案： 解：
∵$ax+by=3$ ①，$ay-bx=5$ ②，
∴$(ax+by)^{2}=9$，即$a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}+2abxy=9$ ③，
∴$(ay-bx)^{2}=25$，即$a^{2}y^{2}+b^{2}x^{2}-2abxy=25$ ④，③+④：$a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}+a^{2}y^{2}+b^{2}x^{2}=34$，
∴$(a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2})=a^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}+b^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}=34$.