《2025年思维新观察八年级数学上册人教版湖北专版》

8.(2022·青山)工人师傅常用角尺平分一个任意角,做法如下:如图,∠AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取OM= ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与点M,N重合,过角尺顶点P的射线OP便是∠AOB的平分线,请说明理由.

解:在△OMP和△ONP中,
OM=ON,MP=NP,OP=OP,
∴△OMP≌△ONP(SSS),
∴∠MOP=∠NOP,
即OP平分∠AOB.

答案： 解:在△OMP和△ONP中,
OM=ON,MP=NP,OP=OP,
∴△OMP≌△ONP(SSS),
∴∠MOP=∠NOP,
即OP平分∠AOB.

9.(教材P33T5改编)如图,D是BC上一点,AB= AD,BC= DE,AC= AE.
(1)若∠BAD= 40°,则∠CAE的度数为40°;
(2)求证:∠CDE= ∠BAD.

答案： 1. （1）
解：
在$\triangle ABC$和$\triangle ADE$中，$\left\{\begin{array}{l}AB = AD\\BC = DE\\AC = AE\end{array}\right.$。
根据$SSS$（边 - 边 - 边）全等判定定理，可得$\triangle ABC\cong\triangle ADE$。
所以$\angle BAC=\angle DAE$。
因为$\angle BAC=\angle BAD+\angle DAC$，$\angle DAE=\angle CAE+\angle DAC$。
所以$\angle CAE=\angle BAD$。
已知$\angle BAD = 40^{\circ}$，则$\angle CAE = 40^{\circ}$。
2. （2）
证明：
由（1）知$\triangle ABC\cong\triangle ADE$，所以$\angle B=\angle ADE$。
因为$\angle ADC=\angle B+\angle BAD$（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），且$\angle ADC=\angle ADE+\angle CDE$。
所以$\angle B+\angle BAD=\angle ADE+\angle CDE$。
又因为$\angle B=\angle ADE$，根据等式的性质，等式两边同时减去$\angle ADE$（或$\angle B$），可得$\angle CDE=\angle BAD$。
综上，（1）答案为$40^{\circ}$。

10.(教材P37例2变式)如图,在△ABC中,点E在CA的延长线上,点M在AB上,AM= AC,AB= AE,BC= EM.
(1)求证:AB⊥CE;
(2)求证:EM⊥BC.

答案： 证明:
(1)在△CAB和△MAE中,
CA=MA,CB=ME,AB=AE,
∴△CAB≌△MAE,
∠CAB=∠MAE,
又
∵∠CAB+∠MAE=180°,
∴∠CAB=90°,
∴AB⊥CE;
(2)延长EM交BC于D点,
∵△CAB≌△MAE,
∴∠B=∠E,
∴∠BDM=∠BAE=90°,
∴ME⊥BC.

11.(教材P46T18变式)如图,在△ABC中,AB= AC,点D是BC的中点,点E在AD上,求证:BE= CE.
证明：因为$AB = AC$，点$D$是$BC$的中点，
根据等腰三角形三线合一的性质，所以$AD\perp BC$，$BD = CD$，
即$AD$是$BC$的垂直平分线。
又因为点$E$在$AD$上，
根据线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，
所以$BE = CE$。

答案： 解：
因为$AB = AC$，点$D$是$BC$的中点，
根据等腰三角形三线合一的性质，所以$AD\perp BC$，$BD = CD$，
即$AD$是$BC$的垂直平分线。
又因为点$E$在$AD$上，
根据线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，
所以$BE = CE$。