《2025年思维新观察八年级数学上册人教版湖北专版》

【典例 1】如图,在等腰$\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^{\circ}$,$AC= BC$,点$D在AB$上,$\angle BCD= 22.5^{\circ}$,$\triangle BCD的面积为4$,求$CD$的长.

解：作 $ BE \perp CD $ 于点 $ E $，$ AF \perp CD $ 于点 $ F $，
$\therefore CF = DF = BE$，
$\therefore 4 = \frac{1}{2}CD \cdot \frac{1}{2}CD$，$ CD = $4。

答案： 解：作 $ BE \perp CD $ 于点 $ E $，$ AF \perp CD $ 于点 $ F $，
$\therefore CF = DF = BE$，
$\therefore 4 = \frac{1}{2}CD \cdot \frac{1}{2}CD$，$ CD = 4 $。

变式 1.如图,在$\triangle ABD$中,点$C在BD$边上,$\angle CAD= 90^{\circ}$,$AC= AD$,$CA= CB$,$AB= 5$,则$\triangle ABD$的面积为____$\frac{25}{4}$.

答案： $\frac{25}{4}$
解：过点 $ C $ 作 $ CN \perp AB $ 交 $ AB $ 于点 $ N $，过点 $ D $ 作 $ DM \perp AB $ 与 $ BA $ 的延长线交于点 $ M $，
$\therefore \triangle BCN \cong \triangle DAM$，$\therefore DM = BN = 2.5$，
$\therefore S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \times 5 \times \frac{5}{2} = \frac{25}{4}$。

变式 2.(2025·荆州)如图,$AC= AB= BD$,$AB\perp BD$,$BC= 8$,则$\triangle BCD$的面积为(16)

A.8
B.12
C.14
D.16

答案： D
解：过点 $ A $ 作 $ AM \perp BC $ 于点 $ M $，过点 $ D $ 作 $ DN \perp CB $ 交 $ CB $ 的延长线于点 $ N $，
$\therefore \triangle ABM \cong \triangle BDN$，$ DN = BM = CM = 4 $，
$ S_{\triangle BCD} = \frac{1}{2} \times 8 \times 4 = 16 $。

【典例 2】在$Rt\triangle ABC$中,$AC= BC$,$\angle ACB= 90^{\circ}$,点$O为AB$的中点.
(1)如图 1,点$E$,$F分别在边AC和BC$上时,$OE\perp OF$,求证：$OE= OF$；
证明：连接 $ OC $，$ \triangle CEO \cong \triangle BFO $
(2)如图 2,点$E$,$F分别在AC$,$BC$上,$\angle EOF= 45^{\circ}$,求证：$CE+EF= BF$.
证明：连 $ CO $，在 $ BF $ 上取点 $ M $，使 $ CE = BM $，连接 $ OM $，证 $ \triangle COE \cong \triangle BOM $，再证 $ \triangle EOF \cong \triangle MOF $，$\therefore EF = FM$，$\therefore CE + EF = BM + FM = BF$

答案： 证明：
(1) 连接 $ OC $，$ \triangle CEO \cong \triangle BFO $。
(2) 连 $ CO $，在 $ BF $ 上取点 $ M $，使 $ CE = BM $，连接 $ OM $，
证 $ \triangle COE \cong \triangle BOM $，
再证 $ \triangle EOF \cong \triangle MOF $，
$\therefore EF = FM$，$\therefore CE + EF = BM + FM = BF$。