《2025年思维新观察八年级数学上册人教版湖北专版》

10.如图,在$\triangle ABC$中,AD为$\triangle ABC$的角平分线,$CE⊥AD$于点 E.若$∠ACE= 2∠B,AB= 14,AC$$=8$,则 CE 的长为____3.

答案： 3
解:延长$CE$交$AB$于点$F$,易知$\angle ACE=\angle AFE$,
$\therefore AC=AF=8$,
$\therefore \angle B=\angle FCB\Rightarrow BF=CF=6$,
$\therefore CE=EF=3$.

11.如图,在$\triangle ABC$中,点 E 为 BC 的中点,$CF// AB$交 AE 的延长线于 G 点,且$∠BAE= ∠EAF$,求证:$AF+CF= AB$.
证明:易证$\triangle ABE\cong \triangle GCE$,$\therefore AB=CG$,
又可证$AF=FG$,
$\therefore AF+CF=FG+CF=AB$.

答案： 证明:易证$\triangle ABE\cong \triangle GCE$,$\therefore AB=CG$,
又可证$AF=FG$,
$\therefore AF+CF=FG+CF=AB$.

12.如图,在$\triangle ABC$中,CE 为角平分线,$AD⊥CE$于点 F,交 BC 于点 D,$AG// BC$交 CE 的延长线于 G 点,$∠ACB= 2∠B$.
(1)求证:$BE= CE;$
(2)求证:$AB= 2CF$.

答案： 1. （1）证明$BE = CE$：
因为$CE$为$\angle ACB$的角平分线，所以$\angle ACB = 2\angle ECB$。
又已知$\angle ACB = 2\angle B$，则$\angle ECB=\angle B$。
根据等角对等边，在$\triangle BEC$中，可得$BE = CE$。
2. （2）证明$AB = 2CF$：
因为$AG// BC$，所以$\angle G=\angle ECB$。
又$\angle AEG=\angle BEC$（对顶角相等），$BE = CE$（已证），所以$\triangle AEG\cong\triangle BEC(AAS)$。
则$AG = BC$。
因为$AD\perp CE$，$CE$平分$\angle ACB$，所以$\angle AFC=\angle DFC = 90^{\circ}$，$\angle ACF=\angle DCF$。
又$CF = CF$，所以$\triangle ACF\cong\triangle DCF(ASA)$。
则$AC = DC$，$AF = DF$。
因为$\angle ACB = 2\angle B$，$\angle ACB=\angle CAD+\angle ADC$，$\angle ADC=\angle B+\angle BAD$，$\angle CAD=\angle BAD$（由$\triangle ACF\cong\triangle DCF$及$AG// BC$可推得）。
设$\angle B = x$，则$\angle ACB = 2x$，$\angle BAC=180^{\circ}-3x$，$\angle BAD=\frac{1}{2}\angle BAC = 90^{\circ}-\frac{3}{2}x$，$\angle ADC=x+(90^{\circ}-\frac{3}{2}x)=90^{\circ}-\frac{1}{2}x$，$\angle CAD = 90^{\circ}-\frac{3}{2}x$，$\angle ACF=x$。
延长$CF$到$H$，使$FH = CF$，连接$AH$。
因为$AF = DF$，$\angle AFH=\angle DFC$，$FH = CF$，所以$\triangle AFH\cong\triangle DFC(SAS)$。
则$AH = DC$，$\angle H=\angle DCF$。
因为$AC = DC$（已证），所以$AH = AC$。
又$\angle ACB = 2\angle B$，$\angle ACF=\angle B$（已证$\angle ECB=\angle B$，$\angle ACF=\angle ECB$）。
因为$AG// BC$，所以$\angle GAB=\angle B$。
由$\triangle AEG\cong\triangle BEC$得$AE = BE$，又$BE = CE$，所以$AE = CE$。
因为$\angle ACF=\angle B$，$\angle CAH=\angle H$（$AH = AC$），$\angle H=\angle DCF=\angle ACF$。
所以$\angle B=\angle H$。
在$\triangle ABH$中，$\angle BAH=\angle B+\angle AHB$（外角性质），又$\angle AHB=\angle ACF=\angle B$，所以$\angle BAH = 2\angle B$，$\angle ACB = 2\angle B$，所以$\angle BAH=\angle ACB$。
又$\angle B=\angle H$，$AH = AC$（$AC = DC$，$AH = DC$）。
所以$\triangle ABH\cong\triangle CBA(AAS)$。
则$AB = CH$。
因为$CH = 2CF$，所以$AB = 2CF$。
综上，（1）已证$BE = CE$；（2）已证$AB = 2CF$。

13.(1)如图 1,在$\triangle ABC$中,$∠C= 3∠B$,AD平分$∠BAC$交 BC 于 D 点,$DE⊥AD$交 AB 于点 E,求证:$BE= DE;$
(2)如图 2,在$\triangle ABC$中,$∠C= 90^{\circ }$,AD平分$∠BAC$交 BC 于点 D,$BE⊥AB$交 AD 的延长线于点 E,$EF⊥BD$于点 F,求证:$CD= BF$.

答案： 证明:
(1)设$\angle B=\alpha$,$\angle C=3\alpha$,
$\therefore \angle DAE=\frac {180^{\circ }-4\alpha }{2}=90^{\circ }-2\alpha$,
$\therefore \angle DEA=2\alpha =\angle B+\angle BDE\Rightarrow$
$\angle BDE=\alpha =\angle B$,
$\therefore DE=BE$.
(2)设$\angle BAD=\alpha$,$\therefore \angle AEB=90^{\circ }-\alpha$,
$\angle EDB=90^{\circ }-\alpha$,$\therefore BD=BE$,
过点$D$作$DM\perp AB$于点$M$,$\therefore CD=DM$,
又$\because \triangle BDM\cong \triangle EBF$,$\therefore BF=DM=CD$.