《2025年思维新观察八年级数学上册人教版湖北专版》

【典例】(教材 P93T13 变式)如图,D 是等边$\triangle ABC$的 AC 边的中点,F 在 AB 上,E 在 BC 的延长线上,且$∠FDE= 120^{\circ }$．
(1)求证：$DE= DF$；
(2)若$BF= 1$,$CE= 2$,求 AC 的长．

答案： 证明:
(1)作 $ DM // BC $ 交 $ AB $ 于 $ M $，易证 $ CD = AD = AM = DM $，$ \because \angle MDC = \angle FDE = 120 ^ { \circ } $，$ \therefore \angle MDF = \angle CDE $，$ \angle DMF = \angle DCE = 120 ^ { \circ } $，$ \therefore \triangle DMF \cong \triangle DCE $，$ \therefore DE = DF $。
(2)由
(1)知 $ CE = MF $，$ \therefore CE + BF = BM = \frac { 1 } { 2 } BC $，$ \therefore BC = 6 = AC $。

变式 1.如图,在等边$\triangle ABC$中,点 P 在 BA 的延长线上,$AP= BE$,点 E 在 BC 上,求证：$PE= PC$．

证明：过 $ P $ 作 $ PM // AC $ 交 $ BC $ 于 $ M $，证 $ \triangle PBE \cong \triangle PMC $ 即可

答案： 解：
延长$AB$到$F$，使$BF = AP$，连接$CF$。
因为$\triangle ABC$是等边三角形，所以$AB = BC = AC$，$\angle B = 60^{\circ}$。
又$BF = BE$，所以$\triangle BEF$是等边三角形，$BE = EF$，$\angle F=\angle B = 60^{\circ}$。
因为$\left\{\begin{array}{l}AP = BF\\\angle PAC=\angle FBC = 120^{\circ}\\AC = BC\end{array}\right.$，所以$\triangle PAC\cong\triangle FBC(SAS)$。
则$PC = FC$，$\angle PCA=\angle FCB$，进而$\angle PCE=\angle FCE$。
在$\triangle PEC$和$\triangle FEC$中，$\left\{\begin{array}{l}EC = EC\\\angle PCE=\angle FCE\\PC = FC\end{array}\right.$，所以$\triangle PEC\cong\triangle FEC(SAS)$。
所以$PE = PC$。

变式 2.已知$\triangle ABC$为等边三角形,点 D 在 AC 上,点 E 在 CB 的延长线上,$EA= ED$,求证：$BE= CD$．
证明:过点 $ D $ 作 $ DF // BC $ 交 $ AB $ 于点 $ F $，连接 $ EF $，$ \therefore \triangle ADF $ 为等边三角形，$ \therefore \triangle AEF \cong \triangle DEF $，设 $ \angle EAF = \angle FDE = \alpha $，$ \angle AEF = \beta $，$ \therefore \angle BFE = \alpha + \beta $，$ \angle BEF = \alpha + \beta $，$ \therefore \angle BEF = \angle BFE $，$ \therefore BE = BF = CD $．

答案： 证明:过点 $ D $ 作 $ DF // BC $ 交 $ AB $ 于点 $ F $，连接 $ EF $，$ \therefore \triangle ADF $ 为等边三角形，$ \therefore \triangle AEF \cong \triangle DEF $，设 $ \angle EAF = \angle FDE = \alpha $，$ \angle AEF = \beta $，$ \therefore \angle BFE = \alpha + \beta $，$ \angle BEF = \alpha + \beta $，$ \therefore \angle BEF = \angle BFE $，$ \therefore BE = BF = CD $。

变式 3.如图,$\triangle ABC和\triangle FPQ$都为等边三角形,F,E 分别为 AC,BC 的中点,点 P 在 AB 上,连 EF,QE,$AB= 6$,$PB= 1$,求 QE 的长．

QE 的长为2。

答案： 解:取 $ AB $ 的中点 $ D $，连 $ FD $，则 $ \triangle EFQ \cong \triangle DFP $，$ \therefore EQ = PD = 2 $。