《2025年思维新观察八年级数学上册人教版湖北专版》

【典例 1】(教材 P119 活动 1)如图是某月的月历.
(1)选择其中所示的方框部分,将每个方框部分中 4 个位置上的数交叉相乘,再相减,能得出什么结论? 请再选择几个类似的部分试一试,看一看是否符合这个规律;
结论是：差不变，为7
(2)请利用整式的运算对以上的规律加以证明;
证明：设第一个数为x，
则交叉相乘再相减的结果为x(x+8)-(x+1)(x+7)
=x²+8x-(x²+8x+7)
=-7
(3)你还能发现其他规律吗?
言之有理即可

答案： 解:
(1)差不变,为 7;
(2)第一个数为 x,
$\therefore x(x+8)-(x+1)(x+7)$
$=x^{2}+8x-(x^{2}+8x+7)$
$=-7$.
(3)言之有理即可.

变式.将月历中任意取 $ 3 × 3 $ 方框,取“十字型”的 5 个数字如下探究 $ ab - xy $ 的值.

$ ab - xy $ 的值为48.

答案： 解:设中间数为 m,则
$ab-xy=(m-1)(m+1)-(m-7)(m+7)$
$=m^{2}-1-(m^{2}-49)=48$.

【典例 2】如图所示的是 2025 年 1 月份的月历,“Z 字型”“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字(两种阴影图形可以重叠覆盖,也可以上下左右平移).将“Z 字型”覆盖的最小的数与最大的数的乘积记作 $ m $,将“十字型”覆盖的最小的数与最大的数的乘积记作 $ n $,若 $ m - n = 30 $,则 $ m + n $ 的值为____900.

答案： 解:设“Z”字型最小数为 x,最大数为$x+16$,
$\therefore m=x(x+16)$,
“十字型”最小数为 y,最大数为$y+14$,
$n=y(y+14),m-n=30$,
$x(x+16)-y(y+14)=30$,
$\therefore (x+y+15)(x-y+1)=45$,
$\because x$,y 为正整数,
$\therefore \left\{\begin{array}{l} x-y+1=1\\ x+y+15=45\end{array}\right. $,
$\therefore x=y=15,\therefore m+n=900$.