《2025年思维新观察八年级数学上册人教版湖北专版》

【典例1】求证：$\angle BDC= \angle B+\angle C+\angle A$.

解：延长$BD$交$AC$于点$E$。
在$\triangle ABE$中，根据三角形外角性质，$\angle DEC=\angle A + \angle B$（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）。
在$\triangle DEC$中，$\angle BDC=\angle DEC+\angle C$（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）。
把$\angle DEC=\angle A + \angle B$代入$\angle BDC=\angle DEC+\angle C$中，可得$\angle BDC=\angle A+\angle B + \angle C$。
综上，$\angle BDC=\angle A+\angle B+\angle C$得证。

答案： 解：延长$BD$交$AC$于点$E$。
在$\triangle ABE$中，根据三角形外角性质，$\angle DEC=\angle A + \angle B$（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）。
在$\triangle DEC$中，$\angle BDC=\angle DEC+\angle C$（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）。
把$\angle DEC=\angle A + \angle B$代入$\angle BDC=\angle DEC+\angle C$中，可得$\angle BDC=\angle A+\angle B + \angle C$。
综上，$\angle BDC=\angle A+\angle B+\angle C$得证。

变式1.如图1,$\angle A= 52^{\circ },\angle B= 25^{\circ },\angle C= 30^{\circ },\angle D= 35^{\circ },\angle E= 72^{\circ }$,那么$\angle F$的度数是(A)

A.$70^{\circ }$
B.$73^{\circ }$
C.$65^{\circ }$
D.$60^{\circ }$

答案： A
提示:连接 AD,$∠E+∠F=∠B+∠C+∠D+∠A$.

变式2.如图2,若$\angle AED= 100^{\circ },\angle BFC= 110^{\circ }$,则$\angle A+\angle B+\angle C+\angle D= $$210^{\circ }$.

答案： $210^{\circ }$

【典例2】如图,$BP平分\angle ABD$,$CP平分\angle ACD$,$\angle A= 80^{\circ },\angle D= 160^{\circ }$.求$\angle P$的度数.

解:延长 BP 交 AC 于 E 点,
设$∠ABP=x,∠ACP=y$,
则$∠P=x+y+80^{\circ }$,
$∠D=x+y+∠P=160^{\circ }$,
$\therefore 2x+2y+80^{\circ }=160^{\circ }$,
$\therefore x+y=40^{\circ }$,
$\therefore ∠P=40^{\circ }+80^{\circ }=120°$.

答案： 解:延长 BP 交 AC 于 E 点,
设$∠ABP=x,∠ACP=y$,
则$∠P=x+y+80^{\circ }$,
$∠D=x+y+∠P=160^{\circ }$,
$\therefore 2x+2y+80^{\circ }=160^{\circ }$,
$\therefore x+y=40^{\circ }$,
$\therefore ∠P=40^{\circ }+80^{\circ }=120^{\circ }$.

变式.如图,$\angle ABP= 2\angle DBP,\angle ACP= 2\angle PCD$.
(1)$\angle P= 120^{\circ },\angle D= 160^{\circ }$,求$\angle A$的大小；40°
(2)探究$\angle A,\angle P,\angle D$间的数量关系____3∠P=∠A+2∠D.

答案： 解:
(1)设$∠PBD=α,∠PCD=β$,
$\therefore α+β=40^{\circ }$,
$\therefore 2α+2β=80^{\circ }$,
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$120^{\circ }=80^{\circ }+∠A$,
$\therefore ∠A=40^{\circ }$.
(2)$3∠P=∠A+2∠D$