《2025年思维新观察八年级数学上册人教版湖北专版》

7.(教材 P132T3)分解因式.
(1)$m^{4}-18m^{2}+81$;
(2)$(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}-(a^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}$;
(3)$(a^{2}+4b^{2})^{2}-16a^{2}b^{2}$;
(4)$2(x^{2}-3y^{2})^{2}+24x^{2}y^{2}$.

答案：
(1) 原式 $=(m^{2}-9)^{2}=(m+3)^{2}(m-3)^{2}$；
(2) 原式 $=(2a^{2}-2c^{2})(2b^{2})=4b^{2}(a+c)(a-c)$；
(3) 原式 $=(a+2b)^{2}(a-2b)^{2}$；
(4) 原式 $=2(x^{2}+3y^{2})^{2}$。

8.如图,有一张边长为b的正方形纸板,在它的四角各剪去边长为a的正方形,然后将四周突出的部分折起,制成一个无盖的长方体纸盒.用M表示其底面积与侧面积的差,则M可因式分解为(A)

A.$(b-6a)(b-2a)$
B.$(b-3a)(b-2a)$
C.$(b-5a)(b-a)$
D.$(b-2a)^{2}$

答案： A
解：$M=(b-2a)^{2}-4(b-2a)a=(b-2a)(b-6a)$

9.已知$a+\frac {1}{b}= 3,a^{2}-\frac {1}{b^{2}}= 12$,则$a= $3.5.

答案： 3.5

10.已知n为正整数,求证:$(4n+3)^{2}-(2n+3)^{2}$能被24整除.

答案： 证明：原式 $=(4n+3+2n+3)(4n+3-2n-3)=(6n+6)×2n=12n(n+1)$
又 $\because n(n+1)$ 为两个连续整数，
故 $12n(n+1)$ 为 24 的倍数。

11.(教材 P132T9)观察下列式子,你得出了什么结论? 你能证明你的结论吗?
$1^{2}+1^{2}×2^{2}+2^{2}= (1+1+1)^{2}$,
$2^{2}+2^{2}×3^{2}+3^{2}= (4+2+1)^{2}$,
$3^{2}+3^{2}×4^{2}+4^{2}= (9+3+1)^{2}$,
……
结论：$n^{2}+n^{2}×(n+1)^{2}+(n+1)^{2}=(n^{2}+n+1)^{2}$
证明：$\because n^{2}+n^{2}(n+1)^{2}+(n+1)^{2}=n^{2}(n^{2}+2n+1)+n^{2}+(n+1)^{2}=n^{4}+2n^{2}(n+1)+(n+1)^{2}=(n^{2}+n+1)^{2}$

答案： 证明：$n^{2}+n^{2}×(n+1)^{2}+(n+1)^{2}=(n^{2}+n+1)^{2}$。
$\because n^{2}+n^{2}(n+1)^{2}+(n+1)^{2}=n^{2}(n^{2}+2n+1)+n^{2}+(n+1)^{2}=n^{4}+2n^{2}(n+1)+(n+1)^{2}=(n^{2}+n+1)^{2}$

12.我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律:
$15×15= 225= 1×2×100+25$,
$25×25= 625= 2×3×100+25$,
$35×35= 1225= 3×4×100+25$,
……
你能写出一般的规律吗? 你能用所学知识证明你的结论吗?
一般的规律为：$(10n+5)^{2}=n(n+1)×100+25$。
证明：$(10n+5)^{2}=100n^{2}+100n+25=100n(n+1)+25$。

答案： 证明：$(10n+5)^{2}=n(n+1)×100+25$。
$(10n+5)^{2}=100n^{2}+100n+25=100n(n+1)+25$。