《2025年思维新观察八年级数学上册人教版湖北专版》

【典例1】若$2022×2023×2024×2025+1= (1+x)^{2}$,求x的值.

答案： 解:设$2022=m$,则
$\begin{aligned}&m(m + 1)(m + 2)(m + 3) + 1\\=&(m^2 + 3m)(m^2 + 3m + 2) + 1\\=&(m^2 + 3m)^2 + 2(m^2 + 3m) + 1\\=&(m^2 + 3m + 1)^2\end{aligned}$
$\therefore x = m^2 + 3m = m(m + 3) = 2022×2025.$

变式1.求证:$(x-5)(x-1)(x-2)(x+2)+36$是一个完全平方数.

答案： 证明:原式$=(x^2 - 3x - 10)(x^2 - 3x + 2) + 36$
$\begin{aligned}&=(x^2 - 3x)^2 - 8(x^2 - 3x) + 16\\&=(x^2 - 3x - 4)^2\end{aligned}$
即原式是一个完全平方数.

变式2.求证:$2024^{2}+2024^{2}×2025^{2}+2025^{2}$是一个完全平方数.

答案： 证明:设$2024 = x$,$2025 = y$,
$y - x = 1,$
$\therefore (y - x)^2 = 1,$
$y^2 + x^2 - 2xy = 1,$
$\therefore 原式 = x^2 + x^2y^2 + y^2$
$\begin{aligned}&=x^2y^2 + 2xy + 1\\&=(xy + 1)^2\\&=(2024×2025 + 1)^2.\end{aligned}$

变式3.用科学记数法表示$9999×9999+19999$.

答案： 解:原式$=9999^2 + 9999×2 + 1 = (9999 + 1)^2 = 10^8$.

【典例2】已知$4^{96}-1$可以被60到70之间的某两个整数整除,则这两个数是(B)
A.61,63
B.63,65
C.65,67
D.63,64

答案： B

变式1.计算:$101×102^{2}-101×98^{2}=$(D)
A.404
B.808
C.40400
D.80800

答案： D
解:$101×102^2 - 101×98^2 = 101×(102^2 - 98^2) = 101×200×4 = 80800$

变式2.求证:$81^{7}-27^{9}-9^{13}$能被45整除.

答案： 证明:原式$=(3^4)^7 - (3^3)^9 - (3^2)^{13}$
$\begin{aligned}&=3^{28} - 3^{27} - 3^{26}\\&=3^{26}×(9 - 3 - 1)\\&=5×3^{26}\\&=5×3^2×3^{24}\\&=45×3^{24}\end{aligned}$
故$81^7 - 27^9 - 9^{13}$是45的倍数.