《2025年思维新观察八年级数学上册人教版湖北专版》

变式1.已知$AC= BC$,$AC\perp BC$,过$C点任作直线l$,过点$A$,$B分别作l的垂线AD$,$BE$,垂足分别为$D$,$E$.若$AD= 2$,$BE= 4$.则$DE$的长为2 或 6.

答案： 2 或 6

变式2.已知$A(6,0)$,点$B为y$轴负半轴上一个动点,分别以$OB$,$AB$为直角边,$B$为直角顶点在第三、四象限作等腰直角$\triangle OBF$,$\triangle ABE$,连$EF交y轴于P$点,则$PB$的长度(B)
A.2
B.3
C.4
D.不确定

答案： B

变式3.(1)如图1,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^{\circ}$,$AC= 4$,$AB= AE$,$AB\perp AE$,求$\triangle ACE$的面积；8
(2)如图2,已知$\angle DAB= \angle ABC= 90^{\circ}$,将$CD绕D逆时针旋转90^{\circ}至DE$,若$AD= 3$,$BC= 5$,求$\triangle ADE$的面积.3

答案： 证明:
(1)过点 E 作 $ EM \perp AC $ 于 M,
则 $ \triangle ABC \cong \triangle EAM $, $ \therefore EM = AC = 4 $,
$ \therefore S_{\triangle ACE} = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8 $;
(2)作 $ CM \perp AD $ 于 M, $ EN \perp AD $ 于 N,
$ \therefore \triangle CDM \cong \triangle DEN $,
$ \therefore EN = DM = 2 $, $ \therefore S_{\triangle ADE} = 3 $.

变式4.如图,$AB= AC$,$AB\perp AC$,$AE= EF$,$CE\perp AE$,点$F在CE$上,连接$BF交AE延长线于M$点.
(1)求证：$BM= MF$；
证明：作 $ BN \perp AM $ 交直线 AM 于 N 点.证$ \triangle ABN \cong \triangle CAE(AAS) $,得$ BN = AE = EF $,再证$ \triangle BMN \cong \triangle FME $即可得证.
(2)若$AE= 4ME$,求$\frac{CF}{EF}$的值.
解：设 $ ME = 1 $,则$ AE = 4 $,由(1)知$AN = CE$，$AN=AE+EM+MN=AE+EM+ME=4+1+1=6$，故$CE=6$，又$EF=AE=4$，$\therefore CF=CE-EF=6-4=2$，$\therefore \frac{CF}{EF}=$$\frac{1}{2}$.

答案： 解:作 $ BN \perp AM $ 交直线 AM 于 N 点.
(1)证 $ \triangle ABN \cong \triangle CAE(AAS) $,
$ BN = AE = EF $,再证 $ \triangle BMN \cong \triangle FME $;
(2)设 $ ME = 1 $, $ AE = 4 $,
$ \therefore AN = 6 = CE $,
$ \therefore CF : EF = 2 : 4 = 1 : 2 $.

变式5.如图,$AC= CE$,$AC\perp CE$,$CB= CF$,$CB\perp CF$,$CD\perp AB于D$,延长$DC交EF于M$点.求证：$EM= MF$.

证明:过 E 点作 $ EH \perp CD $ 于 H 点,过 F 点作 $ FG \perp CD $ 于 G 点,$\triangle CEH \cong \triangle ACD$,$\triangle FGC \cong \triangle CDB$,$\therefore EH = CD $, $ FG = CD $, $ \therefore EH = FG $,再证 $ \triangle EHM \cong \triangle FGM $,$\therefore EM = FM $.

答案： 证明:过 E 点作 $ EH \perp CD $ 于 H 点,
过 F 点作 $ FG \perp CD $ 于 G 点, $ \triangle CEH \cong \triangle ACD $,
$ \triangle FGC \cong \triangle CDB $,
$ \therefore EH = CD $, $ FG = CD $, $ \therefore EH = FG $,
再证 $ \triangle EHM \cong \triangle FGM $,
$ \therefore EM = FM $.