《2025年思维新观察八年级数学上册人教版湖北专版》

【典例 1】如图,$\triangle ABC三条角平分线相交于O$,$OE\perp BC$。
(1)$\angle BAC= 50^{\circ}$,$\angle ABC= 60^{\circ}$,则$\angle COE$的大小为____55°；
(2)$\angle BOD= \alpha$,求$\angle COE$的大小。

答案：
(1)$55^{\circ }$
(2)解:设$∠BAD=∠CAD=β,∠ABG=∠CBG=γ$,则$∠BOD$
$=α=β+γ$,
$∠BCO=90^{\circ }-β-γ=90^{\circ }-α,∠COE=90^{\circ }-(90^{\circ }-α)=α$.

变式 1. (2023·华源)在$\triangle ABC$中,$BD平分\angle ABC$,$CE平分\angle ACB$,$BD与CE交于点M$。

(1)如图 1,若$\angle ABC= 70^{\circ}$,$\angle ACB= 50^{\circ}$,求$\angle BMC$的度数；$120^{\circ}$
(2)如图 2,若$MN\perp BC于N$,$\angle A= 60^{\circ}$,求$\angle 1-\angle 2$的值；$30^{\circ}$
(3)若$\angle BEC= x$,$\angle BDC= y$,那么$\angle BMC= $____$60^{\circ}+\frac{x+y}{3}$。

答案： 解:
(1)$∠BMC=120^{\circ }$;
(2)$∠1-∠2=30^{\circ }$.
设$∠ABD=α,∠ACE=β$,则$∠2=α,∠1=90^{\circ }-β$,
$\because ∠A+2α+2β=180^{\circ },\therefore α+β=60^{\circ },\therefore ∠1-∠2=$
$30^{\circ }$;
(3)$\therefore x+2α+β=180^{\circ },y+α+2β=180^{\circ }$,
$\therefore x+y+3(α+β)=360^{\circ }$,
而$∠BMC=180^{\circ }-(α+β),\therefore ∠BMC=60^{\circ }+\frac {x+y}{3}$.

变式 2. (2025·武昌)如图,已知点$P为\triangle ABC三条内角平分线AD$,$BE$,$CF$的交点,作$DG\perp PC于G$,则$\angle PDG$等于(A)
A. $\angle ABE$
B. $\angle DAC$
C. $\angle BCF$
D. $\angle CPE$

答案： A

【典例 2】如图,$I为\triangle ABC$角平分线的交点,过$I点作DE\perp AI$,分别交$AB$,$AC于D$,$E$,求证：$\angle BIC= \angle BDI= \angle CEI$。

证明：易知$∠BIC=90^{\circ }+\frac {1}{2}∠BAC$,
又$\because ∠CEI=∠BDI=90^{\circ }+\frac {1}{2}∠BAC$,
$\therefore ∠BIC=∠BDI=∠CEI$.

答案： 解:易知$∠BIC=90^{\circ }+\frac {1}{2}∠BAC$,
又$\because ∠CEI=∠BDI=90^{\circ }+\frac {1}{2}∠BAC$,
$\therefore ∠BIC=∠BDI=∠CEI$.

变式. 如图,$AO$,$BO分别平分\angle CAB$,$\angle CBA$,$OD\perp OB交AB于点D$,求$\frac{\angle AOD}{\angle C}$的值为$\frac{1}{2}$。

答案： 解:$∠AOB=90^{\circ }+\frac {1}{2}∠C,\therefore \frac {∠AOD}{∠C}=\frac {1}{2}$.