《2025年思维新观察八年级数学上册人教版湖北专版》

1.如图,$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中,$\angle C= 90^{\circ}$,$\angle B= 30^{\circ}$,要求用圆规和直尺作图,把它分成两个三角形,一个三角形是等腰三角形,其作法错误的是(B)

答案： B

2.如图,已知$AB= AC= 7$,$BC= 5$,分别以$A$,$B$两点为圆心,大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径作弧,两弧相交于点$M$,$N$,直线$MN与AC相交于点D$,$\triangle BDC$的周长是12。

答案： 12

3.如图,$\triangle ABC$中,$AB的垂直平分线交BC于D$,交$AB于E$。
(1)若$\angle C= 90^{\circ}$,$\angle DAC= 20^{\circ}$,则$\angle B= $$35^{\circ}$；
(2)若$AC= 4$,$BC= 6$,则$\triangle ACD$的周长为10。

答案：
(1) $35^{\circ}$
(2) 10

4.如图,在$\triangle ABC$中,$BE平分\angle ABC$,交$AC于E$,$DE垂直平分AB于D$,
(1)若$\angle C= 90^{\circ}$,求证：$BE+DE= AC$；
(2)若$\triangle ABC的周长是20$,$\triangle BCE的周长是12$,求$AB$的长为8。

答案： 解:
(1) 证 $DE = CE$，$AE = BE$，$\therefore BE + DE = AC$；
(2) $AB = 8$。

5.点$P是\triangle ABC$内的一点,若$PB= PC$,则(D)
A.点$P在\angle ABC$的平分线上
B.点$P在\angle ACB$的平分线上
C.点$P在边AB$的垂直平分线上
D.点$P在边BC$的垂直平分线上

答案： D

6.(2023·常州)如图,已知$AC= AD$,$BC= BD$,则(A)

A.$AB垂直平分CD$
B.$CD垂直平分AB$
C.$AB与CD$互相垂直平分
D.$CD平分\angle ACB$

答案： A

7.如图,在四边形$ABCD$中,$AB= AD$,$BC边的垂直平分线MN经过A$点,连接$AC$,求证：点$A在CD$的垂直平分线上。
证明：∵MN垂直平分BC，∴AB=AC。∵AB=AD，∴AC=AD。∴点A在CD的垂直平分线上。

答案： 解: $MN$ 垂直平分 $BC$，$\therefore AB = AC$，
$\because AB = AD$，$\therefore AC = AD$，
$\therefore$ 点 $A$ 在 $CD$ 的垂直平分线上。

8.(教材P70T5改编)如图,$AB= AC$,$DB= DC$,$E在直线AD$上,求证：$BE= CE$。
证明: $\because AB = AC$，$DB = DC$，
$\therefore AD$ 为 $BC$ 的垂直平分线，$\therefore BE = CE$。

答案： 证明: $\because AB = AC$，$DB = DC$，
$\therefore AD$ 为 $BC$ 的垂直平分线，$\therefore BE = CE$。

12.如图,点$A为\angle MON$的角平分线上一点,过$A点任作一直线分别与\angle MON的两边交于B$,$C$,$P为BC$的中点,过点$P作BC的垂线交OA于点D$。
(1)如图1,若$\angle MON= 90^{\circ}$,则$\angle BDC= $$90^{\circ}$；
(2)如图2,若$\angle BDC= 100^{\circ}$,则$\angle BOD= $$40^{\circ}$；
(3)如图3,若$\angle MON= \alpha$,则$\angle BDC= $$180^{\circ}-\alpha$,请给予证明。

答案： 解:
(1) $90^{\circ}$
(2) $40^{\circ}$
(3) 过 $D$ 作 $DH \perp OM$ 于点 $H$，
$DG \perp ON$ 于点 $G$，则 $DH = DG$，
$ \text{Rt} \triangle DBH \cong \text{Rt} \triangle DCG$，$\therefore \angle BDH = \angle CDG$，
$\therefore \angle BDC = \angle HDG = 180^{\circ} - \alpha$。