《2025年思维新观察八年级数学上册人教版湖北专版》

8.已知$x^{2}-y^{2}= 8,x^{2}-z^{2}= 5$,则$(x+y)(y+z)(z+x)(x-y)(z-x)(y-z)$的值为(C)
A.80
B.40
C.120
D.20

答案： C

9.(2025·洪山)从图1到图2的变化过程中可以发现的公式是______$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$.

答案： $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$

10.计算:
(1)$(x+1)(x-1)-x^{2}$;
(2)$(2x+1)(-2x+1)$;
(3)$(-x-y)(y-x)$;
(4)$(x-5)(x+5)-(x-1)(-x-1)$.
(5)$(m+1)(m-1)(m^{2}+1)$;
(6)$(a+b)(a-b)+b(a+2b)-ab$.

答案：
(1)$-1$；
(2)$1-4x^{2}$；
(3)$x^{2}-y^{2}$；
(4)$2x^{2}-26$；
(5)$m^{4}-1$；
(6)$a^{2}+b^{2}$。

11.先化简,再求值:$(x+2y)(x-2y)-(2x-y)(-2x-y)$,其中$x= 8,y= -8$.
解：原式$=$$5x^{2}-5y^{2}$$=$$0$。

答案： 解：原式$=5x^{2}-5y^{2}=0$。

12.求证:对任意正整数$n,(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)$的值都是10的倍数.

答案： 解：原式$=10n^{2}-10=10(n+1)(n-1)$。

13.$(x-1)(x+1)=$$x^{2}-1$,$(x-1)(x^{2}+x+1)=$$x^{3}-1$,$(x-1)(x^{3}+x^{2}+x+1)=$$x^{4}-1$.你发现的规律是$(x-1)(x^{n}+x^{n-1}+... +1)=x^{n+1}-1$.运用上述规律计算:$2^{9}+2^{8}+2^{7}+... +2+1$.解：$2^{9}+2^{8}+2^{7}+... +2+1=(2-1)(2^{9}+2^{8}+... +2+1)=$$2^{10}-1$

答案： $x^{2}-1,x^{3}-1,x^{4}-1$
$(x-1)(x^{n}+x^{n-1}+... +1)=x^{n+1}-1$
解：$2^{9}+2^{8}+2^{7}+... +2+1=(2-1)(2^{9}+2^{8}+... +2+1)=$
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