《2025年思维新观察八年级数学上册人教版湖北专版》

变式1.如图,四边形ABCD中,$∠A= ∠C= 90^{\circ },∠D= 60^{\circ },AB= BC$,E,F分别在AD,CD上,且$∠EBF= 60^{\circ }$,求证:$EF= AE+CF.$

答案： 1. 首先，延长$DC$到$G$，使$CG = AE$：
因为$\angle A=\angle BCG = 90^{\circ}$，$AB = BC$，$AE = CG$。
根据$SAS$（边角边）判定定理，在$\triangle BAE$和$\triangle BCG$中，$\left\{\begin{array}{l}AB = BC\\\angle A=\angle BCG\\AE = CG\end{array}\right.$，所以$\triangle BAE\cong\triangle BCG$。
由全等三角形的性质可得$BE = BG$，$\angle ABE=\angle CBG$。
2. 然后，求$\angle FBG$的度数：
已知$\angle ABC = 360^{\circ}-\angle A-\angle C-\angle D$，$\angle A=\angle C = 90^{\circ}$，$\angle D = 60^{\circ}$，则$\angle ABC=120^{\circ}$，即$\angle ABE+\angle CBF = 120^{\circ}-\angle EBF$。
因为$\angle EBF = 60^{\circ}$，所以$\angle ABE+\angle CBF=60^{\circ}$。
又因为$\angle ABE=\angle CBG$，所以$\angle CBG+\angle CBF=\angle FBG = 60^{\circ}$。
3. 最后，证明$\triangle BEF\cong\triangle BGF$：
在$\triangle BEF$和$\triangle BGF$中，$\left\{\begin{array}{l}BE = BG\\\angle EBF=\angle FBG = 60^{\circ}\\BF = BF\end{array}\right.$。
根据$SAS$判定定理，$\triangle BEF\cong\triangle BGF$。
由全等三角形的性质可得$EF = GF$。
而$GF=CF + CG$，又因为$CG = AE$，所以$EF=AE + CF$。
综上，$EF = AE+CF$得证。

变式2.如图,$∠A= ∠B= 90^{\circ },CA= CB= 4,∠ACB= 120^{\circ },∠ECF= 60^{\circ },AE= 3,BF= 2$,求五边形ACBFE的面积.

解:补短法:延长FB至G使BG=AE,证$△CBG≌△CAE,△CEF≌△CGF,S_{五边形ACBFE}=$20.

答案： 解:补短法:延长FB至G使BG=AE,证$△CBG≌△CAE,△CEF≌△CGF,S_{五边形ACBFE}=20.$

变式3.如图,正方形ABCD,点E,F分别在直线CB,DC上,$∠EAF= 45^{\circ }$,求证:$EF= DF$$-BE.$

证明:(截长法)在CD上取M点,使DM=BE,△ADM≌△ABE,再证△AEF≌△AMF.点评:截长的目的是为了构造两对全等三角形,本题不宜用补短法,因无法构造两对全等三角形.

答案： 证明:(截长法)在CD上取M点,使DM=BE,△ADM≌△ABE,再证△AEF≌△AMF.点评:截长的目的是为了构造两对全等三角形,本题不宜用补短法,因无法构造两对全等三角形.

变式4.如图,在$△ABC$中,$CA= CB,∠ACB= 120^{\circ }$,E为AB上一点,点D在$△ABC$的外部,且$∠DCE= ∠DAE= 60^{\circ }$.求证:$AD+DE= BE.$

证明:(截长法)在BE上截取BF=AD,连接CF,证△CBF≌△CAD(SAS),△CED≌△CEF(SAS),∴DE=EF,∴AD+DE=BF+EF=BE.

答案： 证明:(截长法)在BE上截取BF=AD,连接CF,证△CBF≌△CAD(SAS),△CED≌△CEF(SAS),
∴DE=EF,
∴AD+DE=BF+EF=BE.