《2025年思维新观察八年级数学上册人教版湖北专版》

1.$\triangle ABC$中,$\angle A:\angle B:\angle C = 1:2:3$,$AB = 10$,则$BC = $5.

答案： 5

2.(教材题变式)在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle A = 30^{\circ}$,$AB = 10$,则$BC = $5.

答案： 5

3.等腰$\triangle ABC的顶角为120^{\circ}$,底边上的高为$10$,则腰长为____20.

答案： 20

4.如图,在$\triangle ABC$中,$\angle A = 30^{\circ}$,$\angle C = 90^{\circ}$,$AC = 4cm$,则$AB$边上的高为2$cm$.

答案： 2

5.如图,$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$\angle A = 30^{\circ}$,$CD\perp AB于D$,$AB = 4cm$,则$BD$的长为(B)

A.$2cm$
B.$1cm$
C.$3cm$
D.$1.5cm$

答案： B

6.(2020·宁波)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle A = 15^{\circ}$,$\angle DBC = 60^{\circ}$,$BC = 4$,则$AD$的长为(D)

A.4
B.5
C.6
D.8

答案： D

7.如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle ABC = 60^{\circ}$,$BD平分\angle ABC交AC于D$,若$AD = 6$,则$CD$的长为(B)

A.6
B.3
C.4.5
D.1.5

答案： B

8.如图,已知$\angle AOB = 60^{\circ}$,点$P在边OA$上,$OP = 12$,点$M$,$N在边OB$上,$PM = PN$,若$MN = 2$,求$OM$的长.

解:作$PH⊥OB$于点 H,$\because ∠AOB=60^{\circ },OP=12,\therefore OH=$$\frac {1}{2}OP=6$,$\because PM=PN,\therefore MH=NH=1,\therefore OM=6-1=5.$

答案： 解:作$PH⊥OB$于点 H,$\because ∠AOB=60^{\circ },OP=12,\therefore OH=$
$\frac {1}{2}OP=6,$
$\because PM=PN,\therefore MH=NH=1,\therefore OM=6-1=5.$

9.(教材P92T7题改编)如图,等边$\triangle ABC$中,$D是AC$边的中点,$DH\perp BC于H$.
(1)求证：$BD\perp AC$；
证明：因为$\triangle ABC$是等边三角形，$D$是$AC$边的中点。根据等边三角形三线合一的性质（等边三角形底边上的中线、底边上的高、顶角平分线互相重合），$BD$是$\triangle ABC$中$AC$边上的中线，所以$BD$也是$AC$边上的高，即$BD\perp AC$。
(2)求证：$CH= \frac{1}{4}BC$.
证明：设$BC=a$。因为$\triangle ABC$是等边三角形，所以$\angle C = 60^{\circ}$，$AC = BC=a$。又因为$D$是$AC$边的中点，所以$CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}a$。在$Rt\triangle DHC$中，$\angle C = 60^{\circ}$，$\angle DHC = 90^{\circ}$，则$\angle HDC=30^{\circ}$。根据在直角三角形中，如果一个锐角等于$30^{\circ}$，那么它所对的直角边等于斜边的一半，可得$CH=\frac{1}{2}CD$。把$CD = \frac{1}{2}a$代入，得$CH=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}a=\frac{1}{4}a$。因为$BC = a$，所以$CH=\frac{1}{4}BC$。

答案： 1. （1）证明$BD\perp AC$：
解：因为$\triangle ABC$是等边三角形，$D$是$AC$边的中点。
根据等边三角形三线合一的性质（等边三角形底边上的中线、底边上的高、顶角平分线互相重合），$BD$是$\triangle ABC$中$AC$边上的中线，所以$BD$也是$AC$边上的高，即$BD\perp AC$。
2. （2）证明$CH = \frac{1}{4}BC$：
解：设$BC=a$。
因为$\triangle ABC$是等边三角形，所以$\angle C = 60^{\circ}$，$AC = BC=a$。
又因为$D$是$AC$边的中点，所以$CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}a$。
在$Rt\triangle DHC$中，$\angle C = 60^{\circ}$，$\angle DHC = 90^{\circ}$，则$\angle HDC=180^{\circ}-\angle DHC - \angle C=30^{\circ}$。
根据在直角三角形中，如果一个锐角等于$30^{\circ}$，那么它所对的直角边等于斜边的一半，在$Rt\triangle DHC$中，$CH$是$\angle HDC = 30^{\circ}$所对的直角边，$CD$是斜边，所以$CH=\frac{1}{2}CD$。
把$CD = \frac{1}{2}a$代入$CH=\frac{1}{2}CD$，得$CH=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}a=\frac{1}{4}a$。
因为$BC = a$，所以$CH=\frac{1}{4}BC$。
综上，（1）得证$BD\perp AC$；（2）得证$CH=\frac{1}{4}BC$。

10.如图,在$\triangle ACB$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle B = 30^{\circ}$,$AD为\triangle ABC$的角平分线,$BC = 6$,求$CD$的长.

解:设$CD=x,$
$AD=BD=2x,x+2x=6,x=2,$
$\therefore CD=2.$

答案： 解:设$CD=x,$
$AD=BD=2x,x+2x=6,x=2,$
$\therefore CD=2.$