《2025年思维新观察八年级数学上册人教版湖北专版》

1.在$\triangle ABC$中,若$∠B= 50^{\circ },∠C= 65^{\circ }$,则$\triangle ABC$的形状是等腰三角形.

答案： 等腰三角形

2.在$\triangle ABC$中,若$∠A:∠B:∠C= 3:2:2$,则$\triangle ABC$的形状是等腰三角形.

答案： 等腰三角形

3.如图,$\triangle ABC$中,$AB= AC,∠A= 36^{\circ }$,BD平分$∠ABC$,则图中共有3个等腰三角形.

答案： 3

4.如图,已知$\triangle ABC$的角平分线 CD 交 AB 于 D,$DE// BC$交 AC 于 E,若$DE= 3,AE= 4$,则$AC=$7

答案： 7

5.如图,$AD// BC$,BD平分$∠ABC$,则下列结论正确的是(C)

A.$BD= BC$
B.$AD= CD$
C.$AB= AD$
D.$AB= CD$

答案： C

6.如图,在$\triangle ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ }$,点 D 在 AB 上,$AD= CD$,则下列结论正确的是(A)

A.$AD= BD$
B.$AB= 2BC$
C.$CD= BC$
D.$BD= BC$

答案： A

7.已知:在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,点 D 在 AC 上,$AD= BD= BC$.
(1)求$∠BCD$的大小;$72^{\circ }$
(2)点 E 在 BC 的延长线上,且$BD= DE$,求证:$CD= CE$.
证明:$\angle DBC=\angle DEC=36^{\circ }$,
$\therefore \angle CDE=36^{\circ }\Rightarrow CD=CE$.

答案： 1. （1）
设$\angle A = x$。
因为$AD = BD$，根据等腰三角形两底角相等，所以$\angle ABD=\angle A = x$。
则$\angle BDC=\angle A+\angle ABD$（三角形外角等于不相邻两内角之和），所以$\angle BDC = 2x$。
又因为$BD = BC$，所以$\angle BCD=\angle BDC = 2x$。
因为$AB = AC$，所以$\angle ABC=\angle BCD = 2x$。
在$\triangle ABC$中，根据三角形内角和定理$\angle A+\angle ABC+\angle ACB = 180^{\circ}$，即$x + 2x+2x=180^{\circ}$。
合并同类项得$5x = 180^{\circ}$，解得$x = 36^{\circ}$。
所以$\angle BCD = 72^{\circ}$。
2. （2）
证明：
因为$BD = DE$，所以$\angle E=\angle DBE$。
由（1）知$\angle BDC=\angle BCD = 72^{\circ}$，$\angle DBC = 180^{\circ}-2×72^{\circ}=36^{\circ}$。
因为$\angle BDC$是$\triangle DCE$的外角，所以$\angle BDC=\angle E+\angle DCE$。
又因为$\angle E=\angle DBE$，$\angle DBE=\angle DBC = 36^{\circ}$，所以$\angle E = 36^{\circ}$。
则$\angle DCE=180^{\circ}-\angle BCD = 108^{\circ}$，$\angle CDE=180^{\circ}-\angle BDC = 108^{\circ}$。
在$\triangle DCE$中，$\angle E=\angle CDE$。
根据等腰三角形等角对等边，所以$CD = CE$。
综上，（1）$\angle BCD = 72^{\circ}$；（2）证明如上。

8.如图,已知 CE 为$\triangle ABC$的角平分线,D 为 BC 上一点,AD 交 CE 于 F.若$∠BAC= ∠ADC= 90^{\circ }$.求证:$AE= AF$.

答案： 证明:$\angle DAC=\angle B$,
$\angle AFE=\angle DAC+\angle ACE$,
$\angle AEF=\angle B+\angle BCE$,
$\therefore \angle AFE=\angle AEF$,
$\therefore AE=AF$

9.如图,$\triangle ABC$中,BO平分$∠ABC$,CO平分$∠ACB$,MN 经过点 O,且$MN// BC$分别交 AB,AC于 M,N.
(1)求证:$MN= BM+CN;$
证明：∵BO平分$∠ABC$，∴∠MBO=∠OBC，∵MN//BC，∴∠MOB=∠OBC，∴∠MBO=∠MOB，∴MO=MB，同理可证∠NCO=∠NOC，∴NO=NC，∴MN=MO+ON=BM+CN；
(2)若$AB= 12,AC= 18$,求$\triangle AMN$的周长.
解：$\triangle AMN$的周长为30.

答案： 解:
(1)$\angle MBO=\angle OBC=\angle MOB$,$\therefore MO=MB$,同理$\angle NOC=\angle NCO$,
$\therefore NO=NC$,$\therefore MN=MO+ON=BM+CN$;
(2)$C_{\triangle AMN}=AM+AN+MN=(AM+BM)+(AN+CN)=AB+AC=30$.