《2025年思维新观察八年级数学上册人教版湖北专版》

【典例1】如图1,$△ACB$为等腰直角三角形,$AC= BC,AC⊥BC,A(0,3),C(1,0)$.求B点的坐标.

解:作 $ BE \perp x $ 轴于 $ E $,由 $ \triangle AOC \cong \triangle CEB $ 可得 $ B(4,1) $.

答案： 解:作 $ BE \perp x $ 轴于 $ E $,由 $ \triangle AOC \cong \triangle CEB $ 可得 $ B(4,1) $.

变式1.如图2,在平面直角坐标系中,$A(0,4),C(-1,0),AC= BA,AC⊥BA$,求B点坐标.

(4,3)

答案： 解:$ B(4,3) $.

变式2.如图3,在平面直角坐标系中,$C(0,-1),B(-4,0),AB= AC$,且$AB⊥AC$,求A点坐标.

A点坐标为$(-\frac{3}{2},\frac{3}{2})$.

答案： 1. 过点$A$作$AD\perp y$轴于点$D$，作$AE\perp x$轴于点$E$：
因为$\angle AEC=\angle ADB = 90^{\circ}$，$\angle EAD=\angle BAC = 90^{\circ}$，所以$\angle EAC+\angle CAD=\angle BAD+\angle CAD$，则$\angle EAC=\angle BAD$。
又因为$AB = AC$。
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle AEC\cong\triangle ADB$。
所以$AE = AD$，$CE = BD$。
2. 设$A(-a,a)(a\gt0)$：
已知$C(0, - 1)$，$B(-4,0)$，则$CE=a + 1$，$BD = 4 - a$。
由$CE = BD$，可得$a + 1=4 - a$。
解方程$a + 1=4 - a$：
移项得$a+a=4 - 1$，即$2a=3$。
解得$a=\frac{3}{2}$。
所以$A$点坐标为$(-\frac{3}{2},\frac{3}{2})$。

【典例2】如图4,在平面直角坐标系中,$A(-1,0),C(1,3),AC= BC且AC⊥BC$,求B点坐标.

解:过 $ C $ 作直线 $ l // x $ 轴,过 $ A $ 作 $ AD \perp l $ 于 $ D $,过 $ B $ 作 $ BE \perp l $ 于 $ E $,由 $ \triangle ADC \cong \triangle CEB $ 可得 $ B(4,1) $.

答案： 解:过 $ C $ 作直线 $ l // x $ 轴,过 $ A $ 作 $ AD \perp l $ 于 $ D $,过 $ B $ 作 $ BE \perp l $ 于 $ E $,由 $ \triangle ADC \cong \triangle CEB $ 可得 $ B(4,1) $.

变式1.如图5,$△ABC$在平面直角坐标系中,$∠ACB= 90^{\circ },AC= BC$,O是AC的中点,点A的坐标是$(1,2)$,则点B的坐标为______$ (-5,0) $.

答案： $ (-5,0) $

变式2.如图6,在平面直角坐标系中,$A(0,2),C(-1,-1)$,且$AC= BC,∠ACB= 90^{\circ }$,求B点坐标.

解:过 $ C $ 作直线 $ l // y $ 轴,$ AE \perp l $ 于点 $ E $,$ BF \perp l $ 于点 $ F $,易得 $ \triangle AEC \cong \triangle CFB $,$ B(2,-2) $.

答案： 1. 过点$C$作$y$轴垂线$CE$，过点$B$作$x$轴垂线$BF$，两线交于点$D$：
因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle AEC=\angle CDB = 90^{\circ}$，所以$\angle EAC+\angle ACE = 90^{\circ}$，$\angle ACE+\angle BCD = 90^{\circ}$，则$\angle EAC=\angle BCD$。
又因为$AC = BC$，$\angle AEC=\angle CDB$，所以$\triangle AEC\cong\triangle CDB(AAS)$。
2. 已知$A(0,2)$，$C(-1,-1)$：
则$AE=2 - (-1)=3$，$CE = 1$。
由$\triangle AEC\cong\triangle CDB$可得$CD = AE = 3$，$BD = CE = 1$。
3. 求$B$点坐标：
$D$点横坐标为$-1 + 3 = 2$，纵坐标为$-1-1=-2$。
所以$B$点坐标为$(2,-2)$。
综上，$B$点坐标为$(2,-2)$。