《2025年思维新观察八年级数学上册人教版湖北专版》

【典例1】如图,把△ABC纸片沿DE折叠.
(1)当C'点落在△ABC内时,∠1+∠2= 62°时,则∠C= ____31°,说明理由；
(2)当C'点落在△ABC外部时,∠1-∠2= 72°时,则∠C= ____36°,说明理由.

答案： 解：
(1)设$\angle CDE=\alpha$，$\angle CED=\beta$，
$2\alpha + 2\beta = 360^{\circ} - 62^{\circ} = 298^{\circ}$，
$\therefore \alpha + \beta = 149^{\circ}$，
$\therefore \angle C = 31^{\circ}$（一般结论$\angle 1 + \angle 2 = 2\angle C$）；
(2)$\because \angle 1 = \angle 3 + \angle C = \angle C' + \angle 2 + \angle C$，
$\therefore \angle 1 - \angle 2 = 2\angle C$，$\therefore \angle C = 36^{\circ}$。

变式1.如图,将△ABC纸片沿DE折叠,使点A落在点A'处,且A'B平分∠ABC,A'C平分∠ACB,若∠BA'C= 120°,则∠1+∠2的度数为(D)
A.90°
B.100°
C.110°
D.120°

答案： D

变式2.如图,CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,且CE交BA的延长线于点E.求证：∠BAC= ∠B+2∠E.
证明：设∠ACE = ∠DCE = α，∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∴∠ACE=∠DCE=α。在△BCE中，∠DCE是△BCE的一个外角，∴∠DCE=∠B+∠E，即α=∠B+∠E。∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD=∠B+∠BAC，又∵∠ACD=∠ACE+∠DCE=2α，∴2α=∠B+∠BAC。将α=∠B+∠E代入2α=∠B+∠BAC，得2(∠B+∠E)=∠B+∠BAC，∴∠BAC=∠B+2∠E。

答案： 证明：设$\angle ACE = \angle DCE = \alpha$，$\alpha = \angle B + \angle E$，
$2\alpha = \angle B + \angle BAC$，
$\therefore \angle BAC = \angle B + 2\angle E$。

【典例2】(1)如图1,在△ABC中,AD是高,AE为角平分线,∠B-∠C= 20°,则∠DAE的大小为10°；
(2)如图2,△ABC中,∠BAC外角平分线交直线BC于D点,∠2-∠1= 52°,求∠ADB的大小.26°

答案： 解：
(1)设$\angle B = \alpha$，$\angle C = \alpha - 20^{\circ}$，
则$\angle BAC = 200 - 2\alpha$，
$\therefore \angle BAE = 100^{\circ} - \alpha$，
$\therefore \angle DAE = 100^{\circ} - \alpha - (90^{\circ} - \alpha) = 10^{\circ}$；
(2)$\angle EAD = \angle 1 + \angle ADB$，$\angle CAD = \angle 2 - \angle ADB$，$\therefore \angle 1 + \angle ADB = \angle 2 - \angle ADB$，$\angle ADB = \frac{1}{2}(\angle 2 - \angle 1) = 26^{\circ}$。

变式.如图,在△ABC中,∠B= 2∠C,AE平分∠BAC交BC于E.
(1)若AD⊥BC于D,∠C= 40°,则∠DAE的度数为____20°；
(2)若EF⊥AE交AC于F,求证：∠C= 2∠FEC.

答案： 解：
(1)$20^{\circ}$；
(2)设$\angle B = 2x$，$\angle C = x$，
则$\angle BAC = 180^{\circ} - 3x$，
$\angle EAF = 90^{\circ} - 1.5x$，
$\angle AFE = 1.5x$，$\angle FEC = 0.5x$，
$\therefore \angle C = 2\angle FEC$。