《2025年思维新观察八年级数学上册人教版湖北专版》

【典例1】已知△ABC的三边长a,b,c满足$a^{2}-2ab+b^{2}= ac-bc$,判断△ABC的形状,并说明理由.
解：$\because a^{2}-2ab+b^{2}=ac-bc$，
$\therefore (a-b)^{2}=c(a-b)$，
$\therefore (a-b)^{2}-c(a-b)=0$，
$\therefore (a-b)(a-b-c)=0$，
$\because a$，$b$，$c$是$\triangle ABC$的三边长，
$\therefore a-b-c\neq 0$，$\therefore a-b=0$，$\therefore a=b$，
$\therefore \triangle ABC$为等腰三角形。

答案： 解：$\because a^{2}-2ab+b^{2}=ac-bc$，
$\therefore (a-b)^{2}=c(a-b)$，
$\therefore (a-b)^{2}-c(a-b)=0$，
$\therefore (a-b)(a-b-c)=0$，
$\because a$，$b$，$c$是$\triangle ABC$的三边长，
$\therefore a-b-c\neq 0$，$\therefore a-b=0$，$\therefore a=b$，
$\therefore \triangle ABC$为等腰三角形。

变式1.已知a,b,c是△ABC的三边的长,且满足$a^{2}+2b^{2}+c^{2}-2b(a+c)= 0$,判断此三角形的形状.
解：$a^{2}-2ab+b^{2}+b^{2}+c^{2}-2bc=0$，$(a-b)^{2}+(b-c)^{2}=0$，$\therefore a=b=c$，$\therefore$此三角形为等边三角形。

答案： 解：$a^{2}-2ab+b^{2}+b^{2}+c^{2}-2bc=0$，
$(a-b)^{2}+(b-c)^{2}=0$，
$\therefore a=b=c$，
$\therefore$此三角形为等边三角形。

变式2.如果a,b,c是△ABC三边的长,比较$a^{2}-b^{2}+c^{2}-2ac$与0的大小.
解：$\because a^{2}-b^{2}+c^{2}-2ac$
$=(a^{2}-2ac+c^{2})-b^{2}$
$=(a-c)^{2}-b^{2}$
$=(a-c+b)(a-c-b)$
$\because a+b＞c$，$a\lt b+c$，
$\therefore a-c+b＞0$，$a-c-b＜0$，
$\therefore a^{2}-b^{2}+c^{2}-2ac$＜0。

答案： 解：$\because a^{2}-b^{2}+c^{2}-2ac$
$=(a^{2}-2ac+c^{2})-b^{2}$
$=(a-c)^{2}-b^{2}$
$=(a-c+b)(a-c-b)$
$\because a+b＞c$，$a\lt b+c$，
$\therefore a-c+b＞0$，$a-c-b＜0$，
$\therefore a^{2}-b^{2}+c^{2}-2ac＜0$。

【典例2】如图,将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块,其中有2块是边长为a厘米的大正方形,2块是边长都为b厘米的小正方形,5块是长为a厘米,宽为b厘米的相同的小长方形,且a＞b.
(1)观察图形,可以发现代数式$2a^{2}+5ab+2b^{2}$可以因式分解为$(a+2b)(2a+b)$；
(2)若图中阴影部分的面积为242平方厘米,大长方形纸板的周长为78厘米,求图中空白部分的面积.

答案： 解：
(1)$(a+2b)(2a+b)$；
(2)由已知得$\left\{\begin{array}{l} 2(a^{2}+b^{2})=242\\ 6a+6b=78\end{array}\right.$，
化简得$\left\{\begin{array}{l} a^{2}+b^{2}=121\quad①\\ a+b=13\quad②\end{array}\right.$，
$\therefore ②^{2}-①$得$2ab=48$，
$\therefore ab=24$，$S_{台}=5ab=120(cm^{2})$。

变式.4张如图1的长为a,宽为b(a＞b)的长方形纸片,按图2的方式放置,阴影部分的面积为$S_{1}$,空白部分的面积为$S_{2}$,若$S_{2}= 2S_{1}$,则a,b满足(B)
A.$a= \frac {3}{2}b$
B.$a= 2b$
C.$a= \frac {5}{2}b$
D.$a= 3b$

答案： B
解：由图形可知，$S_{2}=(a-b)^{2}+b(a+b)+ab=a^{2}+2b^{2}$，
$S_{1}=(a+b)^{2}-S_{2}=2ab-b^{2}$，
$\because S_{2}=2S_{1}$，
$\therefore a^{2}+2b^{2}=2(2ab-b^{2})$，
$\therefore a^{2}-4ab+4b^{2}=0$，
即$(a-2b)^{2}=0$，$\therefore a=2b$。