《2025年思维新观察八年级数学上册人教版湖北专版》

【典例1】我国宋代数学家杨辉发现了$(a+b)^{n}(n= 0,1,2,3,… )$展开式系数的规律：
$(a+b)^{0}= 1$ 1 展开式系数和为1
$(a+b)^{1}= a+b$ 1 1 展开式系数和为$1+1$
$(a+b)^{2}= a^{2}+2ab+b^{2}$ 1 2 1 展开式系数和为$1+2+1$
$(a+b)^{3}= a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$ 1 3 3 1 展开式系数和为$1+3+3+1$
$(a+b)^{4}= a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{3}$ 1 4 6 4 1 展开式系数和为$1+4+6+4+1$
以上系数三角表称为“杨辉三角”,根据上述规律,$(a+b)^{7}$展开式的系数和是(B)
A.64
B.128
C.256
D.512

答案： B解：当 $ n = 0 $ 时，展开式中所有项的系数和为 $ 1 = 2 ^ { 0 } $，当 $ n = 1 $ 时，展开式中所有项的系数和为 $ 2 = 2 ^ { 1 } $，当 $ n = 2 $ 时，展开式中所有项的系数和为 $ 4 = 2 ^ { 2 } $，…当 $ n = 7 $ 时，展开式的项系数和为 $ 2 ^ { 7 } = 128 $。故选：B。

变式1.$(x+1)^{6}$中,$x^{4}$的系数为15.

答案： 15

变式2.多项式$x^{6}-12x^{5}+60x^{4}-160x^{3}+240x^{2}-192x+64$.
当$x= 3$时,上式值为1.

答案： 1
解：$ ( x - 2 ) ^ { 6 } = 1 $。

【典例2】(2022·黄陂月考)我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》给出了在$(a+b)^{n}$(n为非负整数)的展开式中,把各项系数按一定的规律排成右表(展开后每一项按a的次数由大到小的顺序排列),人们把这个表叫做“杨辉三角”.据此规律,则$(x+1)^{2019}$展开式中含$x^{2018}$项的系数是(D)
$(a+b)^{0}= 1$ 1
$(a+b)^{1}= a+b$ 1 1
$(a+b)^{2}= a^{2}+2ab+b^{2}$ 1 2 1
$(a+b)^{3}= a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$ 1 3 3 1
$(a+b)^{4}= a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{3}$ 1 4 6 4 1
……
A.2016
B.2017
C.2018
D.2019

答案： D
解：由题意结合系数变化规律可得出：$ ( x + 1 ) ^ { 2019 } = x ^ { 2019 } + 2019 x ^ { 2018 } + \cdots + 1 ^ { 2019 } $，
则展开式中第二项为：$ 2019 x ^ { 2018 } $，
故 $ ( x + 1 ) ^ { 2019 } $ 展开式中含 $ x ^ { 2018 } $ 项的系数是：2019。
故选：D。

变式.(2025·青山)依上规律,那么$(a-\frac {1}{a})^{8}$展开式中$a^{6}$的系数是(-8)
A.8
B.-8
C.28
D.-28

答案： B
解：$ \left( a - \frac { 1 } { a } \right) ^ { 8 } $ 中 $ a ^ { 6 } $ 系数即第 2 项，
$ 8 a ^ { 7 } \times \left( - \frac { 1 } { a } \right) = - 8 a ^ { 6 } $，故系数为 -8。