《2025年思维新观察八年级数学上册人教版湖北专版》

11.如图,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$\angle B = 30^{\circ}$,$AC = 3$,点$D为BC$上一动点,$AD的垂直平分线交AB于F$点,则$BF$的最大值为____4.

答案： 4

12.如图,$\triangle ABC$中,$\angle C = 45^{\circ}$,$\angle ABC = 120^{\circ}$,$BC的垂直平分线DE交BC于D$,交$AC于E$,$AB的垂直平分线FH交AB于F$,交$AC于H$,若$CE = 4$,求$AH$的长.

解:连 BE,BH,
证$CE=BE,BE=\frac {1}{2}BH,BH=AH,$
$\therefore AH=$8.

答案： 解:连 BE,BH,
证$CE=BE,BE=\frac {1}{2}BH,BH=AH,$
$\therefore AH=8.$

13.如图,在等边$\triangle ABC$中,$D$,$E分别在BC$,$AB$上,连接$AD$,$CE交于点M$,$BE = CD$.
(1)求$\angle CMD$的度数；60°
(2)过点$A作AN\perp CE于N$,若$MN = 3$,$DM = 1$,求$CE$的长.7

答案： 解:
(1)$\because$等边$\triangle ABC$,
$\therefore ∠B=∠ACD=60^{\circ },$
$BC=AC$,易证$\triangle BCE\cong \triangle CAD$,
$\therefore ∠CMD=60^{\circ };$
(2)$\because NM=\frac {1}{2}AM,\therefore AM=6,\therefore AD=CE=7.$

14.(2025·仙桃、武汉)如图,等腰直角$\triangle ABC$中,$CA = CB$,$D为\triangle ABC$内一点,$\angle DAB = 15^{\circ}$,$AD = AC$,$CE\perp AD于点E$.
(1)若$CE = 5$,求$BC$的长；
解:$∠CAE=30^{\circ },\therefore CE=\frac {1}{2}AC,AC=BC=$10;
(2)求证：$BD = CD$.
证明:过点 D 作$DM⊥BC$于点 M,
$∠DCM=∠DCE,\therefore \triangle DCE\cong \triangle DCM,$
$\therefore CM=CE=\frac {1}{2}BC,$
$\therefore MC=MB,\therefore DC=DB.$

答案：
(1)解:$∠CAE=30^{\circ },\therefore CE=\frac {1}{2}AC,AC=BC=10;$
(2)证明:过点 D 作$DM⊥BC$于点 M,
$∠DCM=∠DCE,\therefore \triangle DCE\cong \triangle DCM,$
$\therefore CM=CE=\frac {1}{2}BC,$
$\therefore MC=MB,\therefore DC=DB.$

15.在等边$\triangle ABC$中,$D$,$E分别在BC$,$AB$上,连接$AD$,$CE交于点M$,$BE = CD$.如图,点$F在CE$延长线上,且$\angle CFB = 30^{\circ}$,求证：$CF = AM + 2CM$.
证明:方法 1:作$CN⊥CF$交 AD 延长线于 N,
$∠N=30^{\circ }$,$\triangle ACN\cong \triangle CBF(AAS)$,
$CF=AN=AM+2CM$.
方法 2:作$BH⊥FB$交 CF 于 H,
$\triangle ACM\cong \triangle CBH$,$CH=AM$,
$\therefore CF=AM+2CM$.

答案： 证明:方法 1:作$CN⊥CF$交 AD 延长线于 N,
$∠N=30^{\circ },\triangle ACN\cong \triangle CBF(AAS),$
$CF=AN=AM+2CM.$
方法 2:作$BH⊥FB$交 CF 于 H,
$\triangle ACM\cong \triangle CBH,CH=AM,$
$\therefore CF=AM+2CM.$