《2025年思维新观察八年级数学上册人教版湖北专版》

7.(1)(教材 P117T5 变式)一个正方形的边长增加 2 cm,它的面积增加$20cm^{2}$,则这个正方形的边长为4cm;
(2)(教材 P117T6 变式)一块直径为$m+n$的圆形钢板,从中挖去直径分别为 m,n 的两个圆,剩下钢板的面积为$\frac {πmn}{2}$.

答案：
(1)4
(2)$\frac {πmn}{2}$

8.如图,两个正方形边长分别为 a,b,如果$a+b= 17,ab= 60$,图中阴影部分的面积为($\frac {109}{2}$)

A.54.5
B.36.5
C.36
D.40

答案： A
解：$S_{阴}=a^{2}+b^{2}-\frac {1}{2}a^{2}-\frac {1}{2}b(a+b)=\frac {1}{2}[(a+b)^{2}-3ab]=\frac {109}{2}$。

9.已知$x+\frac {1}{x}= 3$,则$x^{2}+\frac {1}{x^{2}}=$7,$(x-\frac {1}{x})^{2}=$5.

答案： 7 5

10.先化简,再求值:$(2x-1)^{2}+(x+2)(x-2)-4x(x-1)$,其中$x= \sqrt {3}$.

答案： 解：原式$=x^{2}-3=0$。

11.解方程:$(3y-1)^{2}+(2y-1)^{2}= 13(y+1)(y-1)$.

答案： 解：$y=\frac {3}{2}$。

12.解不等式:$(2x-3)^{2}+(3x+1)^{2}＞13(x^{2}-2)$.

答案： 解：$x＜6$。

13.(1)若$a^{2}+b^{2}= 15,a-b= 5$,则 ab 的值为-5;
(2)(教材 P118T7 变式)已知$a^{2}+b^{2}= 68,a+b= 10$,则$(a-b)^{2}$的值为36.

答案： 解：
(1)$\because (a-b)^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab=25$，
$\therefore 2ab=-10$，
$\therefore ab=-5$；
(2)$\because (a+b)^{2}=100$，
$\therefore 2ab=32$，
$\therefore (a-b)^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab=36$。

14.(2025·仙桃)综合训练:如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“幸运数”.如:$4= 2^{2}-0^{2},12= 4^{2}-2^{2},20= 6^{2}-4^{2}$,因此 4,12,20 都是“幸运数”.
(1)请判断:28____是“幸运数”；(选填“是”或“不是”)
(2)下面是两个同学演算后的发现,请判断真假,并说明理由.
①奇奇发现:两个连续偶数$2k+2$和 2k(其中 k 取非负整数)构造的“幸运数”也是 4 的倍数；
②妙妙发现:2028 是“幸运数”.

答案： 解：
(1)$28=8^{2}-6^{2}$，故是“幸运数”；
(2)奇奇和妙妙说的都是真的，理由：
①$(2k+2)^{2}-(2k)^{2}=2(4k+2)=4(2k+1)$，
故$2k+2$，$2k$构造的“幸运数”是4的倍数；
②$2028=4×507$，
$507=2×253+1$，
$\therefore 508^{2}-506^{2}=2028$。