《2025年思维新观察八年级数学上册人教版湖北专版》

【典例】如图,在四边形OACB中,$CM\perp OA$于M,$\angle 1= \angle 2,\angle 3+\angle 4= 180^{\circ}$,求证:

(1)$CA= CB$;证明：(作垂法)作 $ CE \perp OB $ 于 $ E $，由 $ \triangle OCE \cong \triangle OCM $ 得 $ CE = CM $，$ OE = OM $，证 $ \triangle BCE \cong \triangle ACM $，$ \therefore CA = CB $
(2)$OA+OB= 2OM$.证明：由(1)有 $ \triangle OCE \cong \triangle OCM $，$ \therefore OE = OM $，又 $ \because BE = AM $，$ \therefore OA + OB = OM + AM + OE - BE = 2OM $

答案： 证明：
(1)(作垂法)作 $ CE \perp OB $ 于 $ E $，由 $ \triangle OCE \cong \triangle OCM $ 得 $ CE = CM $，$ OE = OM $，证 $ \triangle BCE \cong \triangle ACM $，$ \therefore CA = CB $；
(2)由
(1)有 $ \triangle OCE \cong \triangle OCM $，$ \therefore OE = OM $，又 $ \because BE = AM $，$ \therefore OA + OB = OM + AM + OE - BE = 2OM $。

变式1.如图,四边形ACBP中,$\angle ACB= \angle APB= 90^{\circ},AC= BC$,求证:$CP平分\angle APB$.

证明：(作垂法)过 $ C $ 点作 $ CM \perp AP $，$ CN \perp BP $，分别交直线 $ PA $，$ PB $ 于 $ M $，$ N $，证 $ \triangle CAM \cong \triangle CBN $，$ CM = CN $。$ \therefore CP $ 平分 $ \angle APB $。

答案： 证明：(作垂法)过 $ C $ 点作 $ CM \perp AP $，$ CN \perp BP $，分别交直线 $ PA $，$ PB $ 于 $ M $，$ N $，证 $ \triangle CAM \cong \triangle CBN $，$ CM = CN $。$ \therefore CP $ 平分 $ \angle APB $。

变式2.(2025·新洲)如图,$AC= BC,\angle ACB= 90^{\circ}$,D在CB的延长线上,连接AD,过B作$BE\perp BA$,连接DE,若$AD= ED$.求证:$DE\perp DA$.


证明：过点 $ D $ 作 $ DM \perp BE $，垂足为点 $ M $，$ DN \perp AB $ 交 $ AB $ 的延长线于点 $ N $，$ \therefore DM = DN $，$ \therefore \text{Rt} \triangle ADN \cong \triangle \text{Rt} \triangle EDM $，$ \therefore \angle DAB = \angle E $，$ \angle ADE = \angle ABE = 90^{\circ} $，$ \therefore AD \perp DE $。

答案： 证明：过点 $ D $ 作 $ DM \perp BE $，垂足为点 $ M $，$ DN \perp AB $ 交 $ AB $ 的延长线于点 $ N $，$ \therefore DM = DN $，$ \therefore \text{Rt} \triangle ADN \cong \triangle \text{Rt} \triangle EDM $，$ \therefore \angle DAB = \angle E $，$ \angle ADE = \angle ABE = 90^{\circ} $，$ \therefore AD \perp DE $。

变式3.(2025·阳逻)在$\triangle ABC$中,$AB= AC,\angle BAC= 90^{\circ}$,E是线段AB上一点,$CE\perp CF$,且$CE= CF$,过点F作$FD\perp FC$交CA的延长于点D,过点E作$EG\perp EC$交BC于点G,连接DG.若$DF= 7,EG= 1$,求DG的长.

解：在 $ DF $ 上取点 $ M $，使 $ FM = EG $，$ \therefore \triangle CFM \cong \triangle CEG $，$ \therefore \angle GCM = 90^{\circ} $，$ \therefore \angle MCD = \angle DCG = 45^{\circ} $，$ \therefore \triangle DCM \cong \triangle DCG $，$ \therefore DG = DM = $6。

答案： 解：在 $ DF $ 上取点 $ M $，使 $ FM = EG $，$ \therefore \triangle CFM \cong \triangle CEG $，$ \therefore \angle GCM = 90^{\circ} $，$ \therefore \angle MCD = \angle DCG = 45^{\circ} $，$ \therefore \triangle DCM \cong \triangle DCG $，$ \therefore DG = DM = 6 $。