《2025年思维新观察八年级数学上册人教版湖北专版》

【典例1】如图,点E在CA延长线上,DE,AB交于F,AC//BD,AB//CD.∠EAF,∠BDF的平分线交于G,∠EDC= 40°,求∠G的大小.

解:设∠EAG=∠FAG=α，∠EDG=∠BDG=β.
∵ AB// CD，∠EDC=40°，
∴ ∠DFB=40°，
∠B=∠C=∠EAF=2α，
∴ 2α + 2β=140°，α + β=70°.
∴ ∠G=180°-40°-β -α=140°-70°=70°.

答案： 解:设$\angle EAG=\angle FAG=\alpha$，$\angle EDG=\angle BDG=\beta$.
$\because AB// CD$，$\angle EDC=40^{\circ}$，
$\therefore \angle DFB=40^{\circ}$，
$\angle B=\angle C=\angle EAF=2\alpha$，
$\therefore 2\alpha +2\beta =140^{\circ}$，$\alpha +\beta =70^{\circ}$.
$\therefore \angle G=180^{\circ}-40^{\circ}-\beta -\alpha =140^{\circ}-70^{\circ}=70^{\circ}$.

变式.如图1,AD//BC,DE平分∠ADB交AB于E,∠BDC= ∠BCD.
(1)求证:∠1+∠2= 90°;
(2)如图2,BF平分∠ABD交CD的延长线于F点,若∠ABC= 70°,求∠F的大小.55°

答案： 解:
(1)设$\angle ADE=\alpha$，$\angle BDC=\beta$，
$\because AD// BC$，
$\therefore \angle ADC+\angle BCD=180^{\circ}$，
$\therefore 2\alpha +2\beta =180^{\circ}$，
$\therefore \alpha +\beta =90^{\circ}$，
$\therefore \angle EDC=\alpha +\beta =90^{\circ}$，$\therefore \angle 1+\angle 2=90^{\circ}$；
(2)设$\angle ABF=\angle FBD=\alpha$，
$\therefore \angle DBC=70^{\circ}-2\alpha$，
$\angle BDC+\angle BCD=180^{\circ}-(70^{\circ}-2\alpha )=110^{\circ}+2\alpha$，
$\therefore \angle BDC=\angle BCD=55^{\circ}+\alpha$，
$\therefore \angle F=\angle BDC-\angle FBD=55^{\circ}+\alpha -\alpha =55^{\circ}$，
$\therefore \angle F=55^{\circ}$.

【典例2】在△ABC中,D为AC上一点,DE//AB交BC于点E.
(1)如图1,BG平分∠ABC交AC于点G,DF平分∠CDE交BG于点F.探究∠BFD与∠C的数量关系,证明你的结论;
(2)如图2,∠ABG= 2∠CBG,∠EDF= 2∠GDF,若∠C= α,直接写出∠BFD的度数为______60°+$\frac{2}{3}$α(用含α的式子表示).

答案： 解:
(1)$\angle BFD=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle C$.
设$\angle ABC=2\alpha$，$\angle A=2\beta$，
$\because 2\alpha +2\beta =180^{\circ}-\angle C$，
$\alpha +\beta =180^{\circ}-\angle BFD$，
$\therefore \angle BFD=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle C$；
(2)$\angle BFD=60^{\circ}+\frac{2}{3}\alpha$.