《2025年思维新观察八年级数学上册人教版湖北专版》

问题:如图,$AC= BC$,$AC\perp BC$,$AP\perp PE$,点$P在BC$上,$\angle PBE= 135^{\circ}$,求证:$AP= PE$.
证明:方法 1：在 $ AC $ 上取点 $ M $，使 $ CM = CP $，连接 $ PM $，证 $ \triangle APM \cong \triangle PEB $。（抓 $ \angle BPE = \angle A $，$ AM = PB $）

答案： 方法 1：在 $ AC $ 上取点 $ M $，使 $ CM = CP $，连接 $ PM $，证 $ \triangle APM \cong \triangle PEB $。（抓 $ \angle BPE = \angle A $，$ AM = PB $）
方法 2：连接 $ AB $，作 $ PH \perp BC $ 交 $ AB $ 于 $ H $ 点，证 $ \triangle APH \cong \triangle EPB $。（抓 $ \angle ABP = 45^{\circ} $ 作垂线）
方法 3：连接 $ AB $，作 $ PF \perp BC $ 交 $ EB $ 的延长线于 $ F $，证 $ \triangle ABP \cong \triangle EFP $。（利用 $ 45^{\circ} $ 角作垂线）
方法 4：连接 $ AB $，过 $ P $ 点作 $ PM \perp AB $ 于 $ M $ 点，$ PN \perp EB $ 交 $ EB $ 的延长线于 $ N $ 点，证 $ \triangle APM \cong \triangle EPN $。（抓 $ P $ 点在角平分线上，向两边作垂线）

变式.如图,$AC= BC$,$AC\perp BC$,点$P在BC$的延长线上,$AP\perp PE$,$\angle PBE= 45^{\circ}$.求证:$PA= PE$.
证明:方法 1：延长 $ AC $ 至 $ M $ 使 $ CP = CM $，连接 $ PM $，证 $ \triangle APM \cong \triangle PEB $。(或方法 2：连接 $ AB $，过 $ P $ 点作 $ PH \perp PB $ 交直线 $ AB $ 于 $ H $ 点，证 $ \triangle PHA \cong \triangle PBE $。或方法 3：连接 $ AB $，作 $ PF \perp PB $ 交直线 $ BE $ 于 $ F $ 点，证 $ \triangle PEF \cong \triangle PAB $。或方法 4：连接 $ AB $，过 $ P $ 点作 $ PM \perp AB $，$ PN \perp BE $，垂足分别为 $ M $，$ N $，证 $ \triangle APM \cong \triangle EPN $。)

答案： 方法 1：延长 $ AC $ 至 $ M $ 使 $ CP = CM $，连接 $ PM $，证 $ \triangle APM \cong \triangle PEB $。
方法 2：连接 $ AB $，过 $ P $ 点作 $ PH \perp PB $ 交直线 $ AB $ 于 $ H $ 点，证 $ \triangle PHA \cong \triangle PBE $。
方法 3：连接 $ AB $，作 $ PF \perp PB $ 交直线 $ BE $ 于 $ F $ 点，证 $ \triangle PEF \cong \triangle PAB $。
方法 4：连接 $ AB $，过 $ P $ 点作 $ PM \perp AB $，$ PN \perp BE $，垂足分别为 $ M $，$ N $，证 $ \triangle APM \cong \triangle EPN $。