《2025年思维新观察八年级数学上册人教版湖北专版》

【典例1】如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,D是$\triangle ABC$外一点,且$∠ABD= ∠ACD= 60^{\circ }$,求证:$AB= BD+DC.$

答案： 证明: 延长 $ BD $ 至 $ M $，使 $ BM = AB $，连 $ AM $，则 $ \triangle ABM $ 是等边三角形，连接 $ MC $，
$ \therefore AM = AB = AC $，
$ \angle ABM = \angle AMB = \angle ACD $，
$ \therefore \angle DCM = \angle DMC $，
$ \therefore CD = DM $，$ \therefore AB = BD + DC $。

变式.如图,等边$\triangle ABC$,点D在AB上,$DC= DF$,且$AF// BC$,求证:$∠FDC= 60^{\circ }.$

证明: 过 $ D $ 点作 $ DM \perp AC $，$ DN \perp AF $，垂足分别为 $ M $，$ N $，$ DM = DN $，
$ Rt \triangle CDM \cong Rt \triangle FDN \Rightarrow \angle DCA = \angle DFA\Rightarrow \angle CDF = 60^{\circ} $。

答案： 解：
因为$\triangle ABC$是等边三角形，所以$\angle B=\angle ACB = 60^{\circ}$。
因为$AF// BC$，所以$\angle FAC+\angle ACB = 180^{\circ}$，则$\angle FAC=180^{\circ}-\angle ACB = 120^{\circ}$。
又因为$\angle BAC = 60^{\circ}$，所以$\angle FAD=\angle FAC-\angle BAC = 60^{\circ}$。
在$\triangle ABC$中，$\angle B = 60^{\circ}$，$\angle BAC = 60^{\circ}$，所以$\angle B=\angle FAD$。
在$\triangle DBC$和$\triangle DAF$中，
$\left\{\begin{array}{l}DC = DF\\\angle B=\angle FAD\\BC = AC\end{array}\right.$（$AC = BC$因为$\triangle ABC$是等边三角形）
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等）可得$\triangle DBC\cong\triangle DAF$。
所以$\angle BDC=\angle ADF$。
因为$\angle BDC+\angle ADC = 180^{\circ}-\angle B = 120^{\circ}$，$\angle ADF+\angle ADC=\angle FDC$。
所以$\angle FDC = 60^{\circ}$。

【典例2】如图,$\triangle ABC$为等边三角形,$AB= 6$,点M是BC延长线上一点,$∠AMN= 60^{\circ }$,MN交$\triangle ABC$的外角平分线于点N,求$CN-CM$的值.

解: 方法一: (截取法) 在 $ CN $ 上截取 $ CG = CM $，连接 $ GM $，则 $ \triangle CMG $ 是等边三角形，易证 $ \triangle ACM \cong \triangle NGM $，
$ \therefore NG = AC = 6 $，$ \therefore CN - CM = $6；
方法二: (延长法) 延长 $ AC $ 至 $ P $，
使 $ CP = CM $，连接 $ PM $，证 $ \triangle APM \cong \triangle NCM $，
$ \therefore AP = CN $，$ \therefore CN - CM = AC = $6。

答案： 解: 方法一: (截取法) 在 $ CN $ 上截取 $ CG = CM $，连接 $ GM $，则 $ \triangle CMG $ 是等边三角形，易证 $ \triangle ACM \cong \triangle NGM $，
$ \therefore NG = AC = 6 $，$ \therefore CN - CM = 6 $；
方法二: (延长法) 延长 $ AC $ 至 $ P $，
使 $ CP = CM $，连接 $ PM $，证 $ \triangle APM \cong \triangle NCM $，
$ \therefore AP = CN $，$ \therefore CN - CM = AC = 6 $。

变式.如图,等边$\triangle ABC$中,点D为BC上一点,E在AC的延长线上,且$DA= DE$.求证：$BD= CE$.
证明: 证法一: 作 $ DF // AB $ 交 $ AC $ 于 $ F $，证 $ \triangle ADF \cong \triangle EDC $；证法二: 延长 $ DC $ 至 $ M $，使 $ DM = BC $，连接 $ EM $，证 $ \triangle ABD \cong \triangle DME $；证法三: 作 $ DN // AC $ 交 $ AB $ 于 $ N $ 点，证 $ \triangle ADN \cong \triangle DEC $.

答案： 证明: 证法一: 作 $ DF // AB $ 交 $ AC $ 于 $ F $，证 $ \triangle ADF \cong \triangle EDC $；
证法二: 延长 $ DC $ 至 $ M $，使 $ DM = BC $，连接 $ EM $，证 $ \triangle ABD \cong \triangle DME $；
证法三: 作 $ DN // AC $ 交 $ AB $ 于 $ N $ 点，证 $ \triangle ADN \cong \triangle DEC $。