《2025年思维新观察八年级数学上册人教版湖北专版》

变式 1.如图 1,$\triangle ABC$ 中,$D$ 为 $BC$ 的中点。$AB = 5$,$AC = 3$,则 $AD$ 的取值范围为$1＜AD＜4$。

答案： $ 1 ＜ A D ＜ 4 $

变式 2.如图 2,点 $D$ 为 $BC$ 的中点,$DE \perp DF$ 交 $AB$ 于 $E$,交 $AC$ 于 $F$,连 $EF$,若 $BE = 5$,$CF = 3$,求 $EF$ 的取值范围为$2＜EF＜8$。

答案： $ 2 ＜ E F ＜ 8 $

变式 3.如图,$AD$ 是 $\triangle ABC$ 的中线,点 $E$ 在 $BC$ 的延长线上,$CE = AB$,$\angle BAC = \angle BCA$,求证：$AE = 2AD$。
证明: 延长 $ A D $ 至 $ M $，使 $ D M = A D $，则有 $ \triangle A B D \cong \triangle M C D $，先证 $ \angle A C E = \angle A C M $，再证 $ \triangle A C M \cong \triangle A C E $。

答案： 证明: 延长 $ A D $ 至 $ M $，使 $ D M = A D $，则有 $ \triangle A B D \cong \triangle M C D $，先证 $ \angle A C E = \angle A C M $，再证 $ \triangle A C M \cong \triangle A C E $。

变式 4.如图,$AD$ 是 $\triangle ABC$ 的中线,$AE \perp AC$,$AF \perp AB$,且 $AE = AC$,$AF = AB$。

求证：$AD = \frac{1}{2}EF$。
思考：若 $S_{\triangle AEF} = 5$,则 $\triangle ACB$ 的面积为5。

答案： 1. 首先证明$AD=\frac{1}{2}EF$：
延长$AD$到$G$，使$DG = AD$，连接$BG$。
因为$AD$是$\triangle ABC$的中线，所以$BD = CD$。
在$\triangle BDG$和$\triangle CDA$中：
$\left\{\begin{array}{l}BD = CD\\\angle BDG=\angle CDA\\DG = DA\end{array}\right.$，根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle BDG\cong\triangle CDA$。
所以$BG = AC$，$\angle DBG=\angle DCA$，则$BG// AC$，$\angle ABG+\angle BAC = 180^{\circ}$。
又因为$AE\perp AC$，$AF\perp AB$，所以$\angle EAF+\angle BAC = 180^{\circ}$，那么$\angle ABG=\angle EAF$。
已知$AE = AC$，$AF = AB$，且$BG = AC$，所以$AE = BG$。
在$\triangle ABG$和$\triangle FAE$中：
$\left\{\begin{array}{l}AB = AF\\\angle ABG=\angle FAE\\BG = AE\end{array}\right.$，根据$SAS$定理可得$\triangle ABG\cong\triangle FAE$。
所以$AG = EF$，又因为$AG = 2AD$，所以$AD=\frac{1}{2}EF$。
2. 然后求$S_{\triangle ACB}$：
由$\triangle BDG\cong\triangle CDA$，可得$S_{\triangle ABG}=S_{\triangle ABC}$。
因为$\triangle ABG\cong\triangle FAE$，所以$S_{\triangle ABG}=S_{\triangle FAE}$。
已知$S_{\triangle AEF}=5$，所以$S_{\triangle ABC}=5$。
综上，$\triangle ACB$的面积为$5$。