《2025年思维新观察八年级数学上册人教版湖北专版》

变式1.(教材P44T4)如图,$∠D= ∠C,BD= BC$,求证:$∠1= ∠2$.

证明: 过 B 作 $ BM \perp AD $ 于 M, $ BN \perp AC $ 于 N,易证 $ \triangle DBM \cong \triangle CBN (AAS) $,$ \therefore BM = BN $,$ \therefore \angle 1 = \angle 2 $.

答案： 证明: 过 B 作 $ BM \perp AD $ 于 M, $ BN \perp AC $ 于 N,
易证 $ \triangle DBM \cong \triangle CBN (AAS) $,
$ \therefore BM = BN $,
$ \therefore \angle 1 = \angle 2 $.

变式2.如图,$∠1= ∠2,BD= BC,∠ABD＞90^{\circ },∠ABC＞90^{\circ }$,求证:$AD= AC$.

证明: 过 B 作$ BM \perp AD $ 于 M, $ BN \perp AC $ 于 N,
易证$ \triangle BDM \cong \triangle BCN $, 易证$ \triangle ABM \cong \triangle ABN $,
$ \therefore AM = AN $, $ DM = CN $,
$ \therefore AD = AC $.

答案： 证明: 过 B 作 $ BM \perp AD $ 于 M, $ BN \perp AC $ 于 N,
易证 $ \triangle BDM \cong \triangle BCN $, 易证 $ \triangle ABM \cong \triangle ABN $,
$ \therefore AM = AN $, $ DM = CN $,
$ \therefore AD = AC $.

变式3.如图,$PA= PB,∠1+∠2= 180^{\circ }$.求证:OP平分$∠AOB$.
证明: 过点 P 分别作 $ PE \perp AO $, $ PF \perp OB $, 垂足分别为 E, F,
$ \because \angle 1 + \angle 2 = 180^\circ $, $ \angle 2 + \angle PBO = 180^\circ $,
$ \therefore \angle 1 = $$\angle PBO$,
在$\triangle PAE$和$\triangle PBF$中,
$\because \left\{\begin{array}{l} ∠PEA=∠PFB=90^{\circ }\\ ∠1=∠PBO\\ PA=PB\end{array}\right. $
$ \therefore \triangle PAE \cong \triangle PBF $(AAS),
$ \therefore $$ PE = PF $,
$ \therefore OP $ 平分 $ \angle AOB $.

答案： 证明: 过点 P 分别作 $ PE \perp AO $, $ PF \perp OB $, 垂足分别为 E, F,
$ \because \angle 1 + \angle 2 = 180^\circ $, $ \angle 2 + \angle PBO = 180^\circ $,
$ \therefore \angle 1 = \angle PBO $,
$ \therefore \triangle PAE \cong \triangle PBF (AAS) $,
$ \therefore PE = PF $,
$ \therefore OP $ 平分 $ \angle AOB $.

变式4.如图,$AD= AC,∠ABD＞90^{\circ }$,且$∠ABD= ∠ABC$,求证:$∠1= ∠2$.

证明: 过 A 作$ AE \perp DB $ 于 E, $ AF \perp BC $ 于 F,
易证$ \triangle ABF \cong \triangle ABE $,
$ \therefore AF = AE $, $ \angle BAE = \angle BAF $,
证$ \triangle ACF \cong \triangle ADE $,
$ \therefore \angle CAF = \angle DAE $,
$ \therefore \angle 1 = \angle 2 $.

答案： 证明: 过 A 作 $ AE \perp DB $ 于 E, $ AF \perp BC $ 于 F,
易证 $ \triangle ABF \cong \triangle ABE $,
$ \therefore AF = AE $, $ \angle BAE = \angle BAF $,
证 $ \triangle ACF \cong \triangle ADE $,
$ \therefore \angle CAF = \angle DAE $,
$ \therefore \angle 1 = \angle 2 $.

变式5.如图,$∠ABD＞90^{\circ },∠ABC＞90^{\circ },AD= AC,∠C= ∠D$,求证:$∠1= ∠2$.

证明: 作 $ AE \perp DB $, $ AF \perp BC $, 垂足分别为 E, F,
$ \therefore $$\triangle ADE \cong \triangle ACF $, $ \therefore $$ AE = AF $, $\triangle AFB \cong \triangle AEB $,
$ \therefore $$ \angle FBA = \angle EBA \Rightarrow \angle ABD = \angle ABC \Rightarrow \angle 1 = \angle 2 $.

答案： 证明: 作 $ AE \perp DB $, $ AF \perp BC $, 垂足分别为 E, F,
$ \therefore \triangle ADE \cong \triangle ACF $, $ \therefore AE = AF $, $ \triangle AFB \cong \triangle AEB $,
$ \therefore \angle FBA = \angle EBA \Rightarrow \angle ABD = \angle ABC \Rightarrow \angle 1 = \angle 2 $.