《2025年思维新观察八年级数学上册人教版湖北专版》

8.如图,AP平分∠BAC,AC= 9,AB= 5,PB= 3,则PC的长可能是(A)

A.6
B.8
C.9
D.10

答案： A
解：在AC上取一点E使$AE=AB$，$\triangle AEP\cong \triangle ABP,PE=PB=3$，$\therefore 1\lt PC＜7$.

9.如图,点G在AB的延长线上,∠GBC,∠BAC的平分线相交于点F,连接CF.若∠AFB= 40°,则∠BCF的度数为______50°.

答案： $50^{\circ }$
解：易知点F在$\angle BCE$的平分线上，设$\angle BAF=\angle CAF=\alpha ,\angle FBG=\alpha +40^{\circ },\angle ABC=100^{\circ }-2\alpha$，$\angle BCF=\frac {1}{2}(\angle BAC+\angle ABC)=50^{\circ }$.

10.(教材P50T1变式)用圆规与直尺作图:如图,在MN上找一点P,使P到直线AB和射线OC的距离相等,其中点O在AB上.(不写作法,保留作图痕迹)

答案：
如图所示.

提示：作$\angle AOC$或$\angle BOC$的角平分线，与MN的交点即为所求.

11.(教材P53T8变式)如图,四边形ABDC中,∠D= ∠ABD= 90°,点O为BD的中点,且OA平分∠BAC.
(1)求证:OC平分∠ACD;
证明：作OE⊥AC于E，可得△AOB≌△AOE，则有OB=OE=OD,∴OC平分∠ACD；
(2)求证:AB+CD= AC.
证明：由(1)结论可证△OCD≌△OCE，AB=AE,CD=CE,∴AB+CD=AE+CE=AC.

答案： 证明：
(1)作$OE\perp AC$于E，可得$\triangle AOB\cong \triangle AOE$，则有$OB=OE=OD,\therefore OC$平分$\angle ACD$；
(2)由
(1)结论可证$\triangle OCD\cong \triangle OCE$，$AB=AE,CD=CE,\therefore AB+CD=AE+CE=AC$.

12.模型:(1)如图1,四边形APBC中,∠ACB= ∠APB= 90°,PA= PB,求证:PC平分∠ACB;
证明：作PE⊥AC,PF⊥BC，垂足分别为E，F，△PAE≌△PBF(AAS)，∴PE=PF,∴PC平分∠ACB
运用:(2)如图2,在(1)条件下,求证:PC平分∠ACB的外角;
证明：方法同上
拓展:(3)如图3,CA= CB,CD= CE,∠ACB= ∠DCE= α,AD,BE交于点H,连CH.求证:CH平分∠AHE.
证明：作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，△ACD≌△BCE(SAS),∠CAD=∠CBE，再证△ACM≌△BCN，(或证△ECN≌△DCM),CM=CN，∴CH平分∠AHE

答案： 证明：
(1)作$PE\perp AC,PF\perp BC$，垂足分别为E，F，$\triangle PAE\cong \triangle PBF(AAS)$，$\therefore PE=PF,\therefore PC$平分$\angle ACB$；
(2)方法同上；
(3)作$CM\perp AD$于M，$CN\perp BE$于N，$\triangle ACD\cong \triangle BCE(SAS),\angle CAD=\angle CBE$，再证$\triangle ACM\cong \triangle BCN$，(或证$\triangle ECN\cong \triangle DCM),CM=CN$，$\therefore CH$平分$\angle AHE$.