《2025年思维新观察八年级数学上册人教版湖北专版》

8.如图,已知$BD为∠ABC$的平分线,$AB= BC$,点$P在BD$上,$PM⊥AD于点M$,$PN⊥CD于点N$.求证：$PM= PN$.
证明:$\triangle BAD\cong \triangle BCD(SAS)$,$\therefore ∠ADB=∠CDB,$$\therefore PM=PN.$

答案： 证明:$\triangle BAD\cong \triangle BCD(SAS),$$\therefore ∠ADB=∠CDB,$$\therefore PM=PN.$

9.如图,$AD是△ABC$的角平分线,$DE⊥AB于点E$,$S_{△ABC}= 7$,$DE= 2$,$AB= 4$,则$AC$长是____3.

答案： 3

10.如图,$△ABC$中,$AB= 4$,$BC= 6$,$BD是△ABC$的角平分线,$DE⊥AB于点E$,$AF⊥BC于点F$,若$DE= 2$,则$AF$的长为____$\frac {10}{3}$.

答案： $\frac {10}{3}$

11.如图,在$△ABC$中,$∠C= 90^{\circ }$,$AD$为角平分线,$CD= 2$,$S_{△ABC}= 6$,则$AC+AB= $6.

答案： 6

12.(2023·黄陂)(1)如图1,在平面直角坐标系中,点$A$,$B$分别在坐标轴上,$∠AOP= 45^{\circ }$,$PA⊥PB$,求证：$PA= PB$；
证明:作$PC⊥y$轴,$PD⊥x$轴,垂足分别为C,D,$\triangle PAC\cong \triangle PBD(AAS)\Rightarrow PA=PB$;
(2)如图2,在$△ABC$中,$∠BAD= ∠CAD$,点$E在AD$上,点$F在直线AB$上,$∠F= ∠ECA$.求证：$EC= EF$；
证明:作$EM⊥AB$于点M,$EN⊥AC$于点N,$\triangle FEM\cong \triangle CEN$,$\therefore EF=CE$;
(3)如图3,$A$,$B$分别在坐标轴上,$AP⊥BP$,$∠OPB= 45^{\circ }$,求证：$OA= OB$.
证明:过O点作$OC⊥AP$,$OD⊥BP$分别交直线AP,BP于点C,D,$\therefore OC=OD$,$\triangle AOC\cong \triangle BOD(AAS)$,$\therefore OA=OB$.

答案： 证明:
(1)作$PC⊥y$轴,$PD⊥x$轴,垂足分别为C,D,$\triangle PAC$$\cong \triangle PBD(AAS)\Rightarrow PA=PB;$
(2)作$EM⊥AB$于点M,$EN⊥AC$于点N,$\therefore \triangle FEM\cong \triangle CEN,$$\therefore EF=CE;$
(3)过O点作$OC⊥AP,$$OD⊥BP$分别交直线AP,BP于点C,D,$\therefore OC=OD,$$\triangle AOC\cong \triangle BOD(AAS),$$\therefore OA=OB.$