《2025年思维新观察八年级数学上册人教版湖北专版》

变式1.已知$AC⊥BC$,$CE⊥CF$,$CA= CB$,$CE= CF$。
(1)如图1,试判断$AE与BF$的关系；$AE=BF$，$AE\perp BF$
(2)如图2,求证：$AE= BF$,$AE⊥BF$。证$\triangle ACE\cong\triangle BCF$

答案： 证明：
(1)$AE=BF$，$AE\perp BF$；
(2)证$\triangle ACE\cong\triangle BCF$。

变式2.将两块含$45^{\circ}角的大小不同的直角三角板△COD和△AOB$,如图1、2摆放。连接$AC$,$BD$,问$AC与BD$存在怎样数量关系与位置关系。


解：$\triangle AOC\cong\triangle BOD(SAS)$，$\therefore AC=BD$，$\angle CAO=\angle OBD$，$\therefore BD\perp AC$

答案： 解：$\triangle AOC\cong\triangle BOD(SAS)$，$\therefore AC=BD$，$\angle CAO=\angle OBD$，$\therefore BD\perp AC$。

变式3.已知在$△ABC$中,$∠BAC= 90^{\circ}$,$AB= AC$($∠ABC= ∠ACB= 45^{\circ}$),点$D为直线BC$上一动点(点$D不与B$,$C$重合),以$AD为边在AD右侧作等腰Rt△ADF$,$∠DAF= 90^{\circ}$,连接$CF$。
(1)观察猜想：如图1,当点$D在线段BC$上时,求证：$CF⊥BC$,并证明；
证明：∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，在△ABD和△ACF中，AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，∴△ABD≌△ACF，∴∠ACF=∠ABD=45°，BD=CF，∵∠ACB=45°，∴∠DCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，∴BC⊥CF。
(2)数学思考：如图2,3,当点$D分别在线段CB$的延长线上,和线段$BC$延长线上时,上述结论是否仍成立。成立，证明如下：∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，在△ABD和△ACF中，AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，∴△ABD≌△ACF，∴∠ACF=∠ABD，∵∠ABC=∠ACB=45°，当点D在CB延长线上时，∠ABD=180°-45°=135°，∴∠ACF=135°，∠DCF=∠ACF-∠ACB=135°-45°=90°；当点D在BC延长线上时，∠ABD=45°，∴∠ACF=45°，∠DCF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°，综上，CF⊥BC。

答案： 解：
(1)$\triangle ABD\cong\triangle ACF$，$\therefore\angle ACF=\angle ABD=45^{\circ}$，$BD=CF$，$\therefore\angle DCF=90^{\circ}$，$\therefore BC\perp CF$。
(2)同上，先证$\triangle ABD\cong\triangle ACF$，再算$\angle ACF$可得$CF\perp BC$。