《2025年思维新观察八年级数学上册人教版湖北专版》

变式 1. 如图,$ AB // CD $,$ BE $ 平分 $ \angle ABC $,$ CE $ 平分 $ \angle BCD $,点 $ E $ 在 $ AD $ 上,求证：$ BC = AB + CD $。
证明:(截长法)在 BC 上截取 $ BF = AB $，连接 EF，先证 $ \triangle BEF \cong \triangle BEA $，再证 $ \triangle CEF \cong \triangle CED $，$ CD = CF $。(延长法)延长 BE 交直线 CD 于 F 点，证 $ \triangle CBE \cong \triangle CFE $，$ \therefore CB = CF $，$ BE = EF $，再证 $ \triangle ABE \cong \triangle DFE $，$ \therefore AB = DF $。

答案： 证明:(截长法)在 BC 上截取 $ BF = AB $，连接 EF，
先证 $ \triangle BEF \cong \triangle BEA $，再证 $ \triangle CEF \cong \triangle CED $，$ CD = CF $。
(延长法)延长 BE 交直线 CD 于 F 点，
证 $ \triangle CBE \cong \triangle CFE $，
$ \therefore CB = CF $，$ BE = EF $，再证 $ \triangle ABE \cong \triangle DFE $，
$ \therefore AB = DF $。

变式 2. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle A = 60^{\circ} $,$ BE $,$ CF $ 分别是 $ \angle ABC $ 和 $ \angle ACB $ 的平分线,$ CF $ 与 $ BE $ 相交于点 $ O $。求证：$ BF + CE = BC $。

答案： 证法一(截长法):易求 $ \angle BOF = \angle COE = 60^{\circ} $，在 BC 上截取 $ BK = BF $，
$ \therefore \triangle BOF \cong \triangle BOK $，
$ \therefore \angle BOK = 60^{\circ} = \angle COK = \angle COE $，
$ \therefore \triangle COK \cong \triangle COE $，$ \therefore CE = CK $，$ \therefore BF + CE = BC $；
证法二(补短法):在 BA 上截取 $ BM = BC $，
证 $ \triangle BMO \cong \triangle BCO $，
再证 $ \triangle FOM \cong \triangle EOC $。

变式 3. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle A = 100^{\circ} $,$ \angle ABC = 40^{\circ} $,$ BD $ 是 $ \triangle ABC $ 的角平分线,延长 $ BD $ 至点 $ E $,使 $ DE = AD $,连接 $ EC $。求证：$ BC = AB + CE $。

答案： 证明:证法 1(截长法):在 BC 上截取 $ BM = BA $，连接 DM，证 $ \triangle BAD \cong \triangle BMD $，
再证 $ \triangle CED \cong \triangle CMD $，
$ \therefore CE = CM $，
$ \therefore BC = BM + MC = BA + CE $。
证法 2(补短法):延长 BA 至 M 使 $ BM = BC $，
证 $ \triangle BMD \cong \triangle BCD $，
$ \therefore DM = CD $，再证 $ \triangle ADM \cong \triangle EDC $，
$ \therefore CE = AM $，$ \therefore BC = BM = AB + CE $。