《2025年思维新观察八年级数学上册人教版湖北专版》

【典例1】(手拉手模型)如图,$AD= AB,AC= AE,∠DAB= ∠CAE$,求证:$CD= BE$.

证明:$\because ∠DAB=∠CAE,\therefore ∠DAC=∠BAE,$
在$△DAC$和$△BAE$中,$AD=AB$，$∠DAC=∠BAE$，$AC=AE$，$\therefore △DAC\cong △BAE$(SAS),$\therefore CD=BE.$

答案： 证明:$\because ∠DAB=∠CAE,\therefore ∠DAC=∠BAE,$
$\therefore △DAC\cong △BAE,\therefore CD=BE.$

变式1.如图,$CA= CB,.CD= CE,∠ACB= ∠DCE= 90^{\circ },A,D,E$在一条直线上,求证:$BD⊥AE$.

证明:$△ACE\cong △BCD$,
$\therefore ∠DAC=∠DBC,$
$\therefore ∠ADB=∠ACB=90^{\circ },$
$\therefore BD⊥AE.$

答案： 证明:$△ACE\cong △BCD,$
$\therefore ∠DAC=∠DBC,$
$\therefore ∠ADB=∠ACB=90^{\circ },$
$\therefore BD⊥AE.$

变式2.(一线三等角模型)如图,点D,E,F分别在$△ABC$三边上,$DE= DF,AE= BD,∠EDF= ∠A$.求证:$AD= BF$.
证明:$\because ∠EDB=∠A+∠AED,$又$\because ∠EDB=∠EDF+∠FDB$，且$∠EDF=∠A$$\therefore ∠FDB=∠AED,$在$△ADE$和$△BFD$中，$\left\{\begin{array}{l} ∠AED=∠FDB\\ AE=BD\\ ∠A=∠EDF\end{array}\right.$$\therefore △ADE\cong △BFD,\therefore AD=BF.$

答案： 证明:$\because ∠EDB=∠A+∠AED,$
$\therefore ∠FDB=∠AED,$
$\therefore △ADE\cong △BFD,\therefore AD=BF.$

变式3.(角平分线模型)如图,$AC⊥BC,CD⊥AB$于D,AE平分$∠BAC$交CD于E,点F在AB上,$AC= AF$,求证:$EF// BC$.
证明:$△ACE\cong △AFE,∠AFE=∠ACD=∠B$,$\therefore EF// BC.$

答案： 证明:$△ACE\cong △AFE,∠AFE=∠ACD=∠B,$
$\therefore EF// BC.$

【典例2】(三垂直模型)如图,$AC= CB,AC⊥CB$,AD为中线,$BE// AC$,且$BE= CD$,求证:$AD⊥CE$.

证明:证$△ACD\cong △CBE,$$∠BCE=∠CAD,$$\therefore CE⊥AD.$

答案： 证明:证$△ACD\cong △CBE,$
$∠BCE=∠CAD,$
$\therefore CE⊥AD.$

【典例3】(中线倍长模型)如图,AD为$△ABC$中线,$AB= 7,AC= 5$,求AD的取值范围.

解:延长 AD 至 E,使$AD=DE,$则$△ACD\cong △EBD,$$AC=BE,$$\therefore 2＜2AD＜12,$$1＜AD＜6.$AD的取值范围是1＜AD＜6.

答案： 解:延长 AD 至 E,
使$AD=DE,$
则$△ACD\cong △EBD,$
$AC=BE,$
$\therefore 2＜2AD＜12,$
$1＜AD＜6.$